かっこのある１次方程式の解法
Point：小数をふくむ１次方程式
\(\begin{split}~~~~~0.5x-0.3=1.2\end{split}\)
① 係数を整数にするために、両辺に \(10\) や \(100\) などをかける。
両辺に \(10\) をかけると、
\(\begin{eqnarray}~~~0.5x-0.3&=&1.2\\[2pt]~~~(0.5x-0.3){\, \small \times \,}10&=&1.2{\, \small \times \,}10\\[2pt]~~~0.5x{\, \small \times \,}10-0.3{\, \small \times \,}10&=&1.2{\, \small \times \,}10\\[2pt]~~~5x-3&=&12\end{eqnarray}\)
② 移項を使って１次方程式の解を求める。
\(\begin{eqnarray}\hspace{56pt}~~~5x-3&=&12\\[2pt]~~~5x&=&12+3\\[2pt]~~~5x&=&15\\[3pt]~~~\frac{\,5x\,}{\,5\,}&=&\frac{\,15\,}{\,5\,}\\[3pt]~~~x&=&3\end{eqnarray}\)
小数をふくむ１次方程式の解は、
\(\begin{split}~~~~~0.5x-0.3=1.2\end{split}\)
① 係数を整数にするために、両辺に \(10\) や \(100\) などをかける。
両辺に \(10\) をかけると、
\(\begin{eqnarray}~~~0.5x-0.3&=&1.2\\[2pt]~~~(0.5x-0.3){\, \small \times \,}10&=&1.2{\, \small \times \,}10\\[2pt]~~~0.5x{\, \small \times \,}10-0.3{\, \small \times \,}10&=&1.2{\, \small \times \,}10\\[2pt]~~~5x-3&=&12\end{eqnarray}\)
② 移項を使って１次方程式の解を求める。
\(\begin{eqnarray}\hspace{56pt}~~~5x-3&=&12\\[2pt]~~~5x&=&12+3\\[2pt]~~~5x&=&15\\[3pt]~~~\frac{\,5x\,}{\,5\,}&=&\frac{\,15\,}{\,5\,}\\[3pt]~~~x&=&3\end{eqnarray}\)
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Point：分数をふくむ１次方程式
\(\begin{split}~~~~~\frac{\,1\,}{\,3\,}x+2=\frac{\,1\,}{\,4\,}x+1\end{split}\)
① 係数を整数にするために、それぞれの分母の最小公倍数を両辺にかける。
\(3\) と \(4\) の最小公倍数が \(12\) より、
両辺に \(12\) をかけると、
\(\begin{eqnarray}~~~\frac{\,1\,}{\,3\,}x+2&=&\frac{\,1\,}{\,4\,}x+1\\[3pt]~~~\left(\frac{\,1\,}{\,3\,}x+2\right){\, \small \times \,}12&=&\left(\frac{\,1\,}{\,4\,}x+1\right){\, \small \times \,}12\\[3pt]~~~\frac{\,1\,}{\,3\,}x{\, \small \times \,}12+2{\, \small \times \,}12&=&\frac{\,1\,}{\,4\,}x{\, \small \times \,}12+1{\, \small \times \,}12\\[3pt]~~~4x+24&=&3x+12\end{eqnarray}\)
② 移項を使って１次方程式の解を求める。
\(\begin{eqnarray}\hspace{41pt}~~~4x+24&=&3x+12\\[2pt]~~~4x-3x&=&12-24\\[2pt]~~~x&=&-12\end{eqnarray}\)
分数をふくむ１次方程式の解は、
\(\begin{split}~~~~~\frac{\,1\,}{\,3\,}x+2=\frac{\,1\,}{\,4\,}x+1\end{split}\)
① 係数を整数にするために、それぞれの分母の最小公倍数を両辺にかける。
\(3\) と \(4\) の最小公倍数が \(12\) より、
両辺に \(12\) をかけると、
\(\begin{eqnarray}~~~\frac{\,1\,}{\,3\,}x+2&=&\frac{\,1\,}{\,4\,}x+1\\[3pt]~~~\left(\frac{\,1\,}{\,3\,}x+2\right){\, \small \times \,}12&=&\left(\frac{\,1\,}{\,4\,}x+1\right){\, \small \times \,}12\\[3pt]~~~\frac{\,1\,}{\,3\,}x{\, \small \times \,}12+2{\, \small \times \,}12&=&\frac{\,1\,}{\,4\,}x{\, \small \times \,}12+1{\, \small \times \,}12\\[3pt]~~~4x+24&=&3x+12\end{eqnarray}\)
② 移項を使って１次方程式の解を求める。
\(\begin{eqnarray}\hspace{41pt}~~~4x+24&=&3x+12\\[2pt]~~~4x-3x&=&12-24\\[2pt]~~~x&=&-12\end{eqnarray}\)
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問題解説：小数や分数をふくむ１次方程式
問題解説(1)
問題
\(\begin{split}{\small (1)}~~0.2x+1.3=0.5x+2.5\end{split}\)
次の方程式を解け。
\(\begin{split}{\small (1)}~~0.2x+1.3=0.5x+2.5\end{split}\)
両辺に \(10\) をかけると、
(※ 係数を整数にするため。)
\(\begin{eqnarray}~~~0.2x+1.3&=&0.5x+2.5\\[2pt]~~~(0.2x+1.3){\, \small \times \,}10&=&(0.5x+2.5){\, \small \times \,}10\\[2pt]~~~0.2x{\, \small \times \,}10+1.3{\, \small \times \,}10&=&0.5x{\, \small \times \,}10+2.5{\, \small \times \,}10\\[2pt]~~~2x+13&=&5x+25\end{eqnarray}\)
\(13\) と \(5x\) を移項すると、符号がかわるので、
\(\begin{eqnarray}\hspace{50pt}~~~2x-5x&=&25-13\\[2pt]~~~(2-5)x&=&12\\[2pt]~~~-3x&=&12\end{eqnarray}\)
両辺を \(x\) の係数 \(-3\) でわると、
\(\require{cancel} \begin{eqnarray}\hspace{57pt}~~~\frac{\,-3x\,}{\,-3\,}&=&\frac{\,12\,}{\,-3\,}\\[3pt]~~~\frac{\,\cancel{-3}^{1}x\,}{\,\cancel{-3}^{1}\,}&=&-\frac{\,\cancel{12}^{4}\,}{\,\cancel{3}^{1}\,}\\[3pt]~~~x&=&-4\end{eqnarray}\)
したがって、解は \(x=-4\) となる
問題解説(2)
問題
\(\begin{split}{\small (2)}~~0.12x-0.07=0.08x-0.39\end{split}\)
次の方程式を解け。
\(\begin{split}{\small (2)}~~0.12x-0.07=0.08x-0.39\end{split}\)
両辺に \(100\) をかけると、
(※ 係数を整数にするため。)
\(\begin{eqnarray}~~~0.12x-0.07&=&0.08x-0.39\\[2pt](0.12x-0.07)&{\, \small \times \,}&100\\[2pt]~~~&=&(0.08x-0.39){\, \small \times \,}100\\[2pt]0.12x{\, \small \times \,}100&-&0.07{\, \small \times \,}100\\[2pt]~~~&=&0.08x{\, \small \times \,}100-0.39{\, \small \times \,}100\\[2pt]~~~12x-7&=&8x-39\end{eqnarray}\)
\(-7\) と \(8x\) を移項すると、符号がかわるので、
\(\begin{eqnarray}\hspace{15pt}~~~12x-8x&=&-39+7\\[2pt]~~~(12-8)x&=&-32\\[2pt]~~~4x&=&-32\end{eqnarray}\)
両辺を \(x\) の係数 \(4\) でわると、
\(\require{cancel} \begin{eqnarray}\hspace{35pt}~~~\frac{\,4x\,}{\,4\,}&=&\frac{\,-32\,}{\,4\,}\\[3pt]~~~\frac{\,\cancel{4}^{1}x\,}{\,\cancel{4}^{1}\,}&=&-\frac{\,\cancel{32}^{8}\,}{\,\cancel{4}^{1}\,}\\[3pt]~~~x&=&-8\end{eqnarray}\)
したがって、解は \(x=-8\) となる
問題解説(3)
問題
\(\begin{split}{\small (3)}~~\frac{\,1\,}{\,3\,}x-\frac{\,1\,}{\,2\,}=\frac{\,1\,}{\,2\,}x+2\end{split}\)
次の方程式を解け。
\(\begin{split}{\small (3)}~~\frac{\,1\,}{\,3\,}x-\frac{\,1\,}{\,2\,}=\frac{\,1\,}{\,2\,}x+2\end{split}\)
分母の \(3\) と \(2\) の最小公倍数の \(6\) を両辺にかけると、
(※ 係数を整数にするため。)
\(\require{cancel} \begin{eqnarray}~~~\frac{\,1\,}{\,3\,}x-\frac{\,1\,}{\,2\,}&=&\frac{\,1\,}{\,2\,}x+2\\[3pt]~~~\left(\frac{\,1\,}{\,3\,}x-\frac{\,1\,}{\,2\,}\right){\, \small \times \,}6&=&\left(\frac{\,1\,}{\,2\,}x+2\right){\, \small \times \,}6\\[3pt]~~~\frac{\,1\,}{\,3\,}x{\, \small \times \,}6-\frac{\,1\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}6&=&\frac{\,1\,}{\,2\,}x{\, \small \times \,}6+2{\, \small \times \,}6\\[3pt]~~~\frac{\,1\,}{\,\cancel{3}^{1}\,}x{\, \small \times \,}\cancel{6}^{2}&-&\frac{\,1\,}{\,\cancel{2}^{1}\,}{\, \small \times \,}\cancel{6}^{3}\\[3pt]~~~&=&\frac{\,1\,}{\,\cancel{2}^{1}\,}x{\, \small \times \,}\cancel{6}^{3}+2{\, \small \times \,}6\\[3pt]~~~2x-3&=&3x+12\end{eqnarray}\)
\(-3\) と \(3x\) を移項すると、符号がかわるので、
\(\begin{eqnarray}\hspace{40pt}~~~2x-3x&=&12+3\\[2pt]~~~(2-3)x&=&15\\[2pt]~~~-x&=&15\end{eqnarray}\)
両辺に \(-1\) をかけると、
(※ 左辺を \(x\) だけにするため。)
\(\begin{eqnarray}\hspace{24pt}~~~-x{\, \small \times \,}(-1)&=&15{\, \small \times \,}(-1)\\[2pt]~~~x&=&-15\end{eqnarray}\)
したがって、解は \(x=-15\) となる
問題解説(4)
問題
\(\begin{split}{\small (4)}~~\frac{\,2x-1\,}{\,5\,}=\frac{\,3x+1\,}{\,2\,}\end{split}\)
次の方程式を解け。
\(\begin{split}{\small (4)}~~\frac{\,2x-1\,}{\,5\,}=\frac{\,3x+1\,}{\,2\,}\end{split}\)
分母の \(5\) と \(2\) の最小公倍数の \(10\) を両辺にかけると、(※ 係数を整数にするため。)
\(\require{cancel} \begin{eqnarray}~~~\frac{\,2x-1\,}{\,5\,}&=&\frac{\,3x+1\,}{\,2\,}\\[3pt]~~~\frac{\,2x-1\,}{\,5\,}{\, \small \times \,}10&=&\frac{\,3x+1\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}10\\[3pt]~~~\frac{\,(2x-1)\,}{\,\cancel{5}^{1}\,}{\, \small \times \,}\cancel{10}^{2}&=&\frac{\,(3x+1)\,}{\,\cancel{2}^{1}\,}{\, \small \times \,}\cancel{10}^{5}\end{eqnarray}\)
※ このとき、分子に( )を付けておく。
\(2\) と \(5\) をそれぞれ分配すると、
\(\begin{eqnarray}\hspace{18pt}~~~(2x-1){\, \small \times \,}2&=&(3x+1){\, \small \times \,}5\\[2pt]~~~2x{\, \small \times \,}2-1{\, \small \times \,}2&=&3x{\, \small \times \,}5+1{\, \small \times \,}5\\[2pt]~~~4x-2&=&15x+5\end{eqnarray}\)
\(-2\) と \(15x\) を移項すると、符号がかわるので、
\(\begin{eqnarray}\hspace{31pt}~~~4x-15x&=&5+2\\[2pt]~~~(4-15)x&=&7\\[2pt]~~~-11x&=&7\end{eqnarray}\)
両辺を \(x\) の係数 \(-11\) でわると、
\(\require{cancel} \begin{eqnarray}\hspace{39pt}~~~\frac{\,-11x\,}{\,-11\,}&=&\frac{\,7\,}{\,-11\,}\\[3pt]~~~\frac{\,\cancel{-11}^{1}x\,}{\,\cancel{-11}^{1}\,}&=&-\frac{\,7\,}{\,11\,}\\[3pt]~~~x&=&-\frac{\,7\,}{\,11\,}\end{eqnarray}\)
したがって、解は \(x=-{\large \frac{\,7\,}{\,11\,}}\) となる
問題解説(5)
問題
\(\begin{split}{\small (5)}~~\frac{\,1\,}{\,12\,}(5x-3)=\frac{\,1\,}{\,4\,}(3x+7)\end{split}\)
次の方程式を解け。
\(\begin{split}{\small (5)}~~\frac{\,1\,}{\,12\,}(5x-3)=\frac{\,1\,}{\,4\,}(3x+7)\end{split}\)
分母の \(12\) と \(4\) の最小公倍数の \(12\) を両辺にかけると、(※ 係数を整数にするため。)
\(\begin{eqnarray}~~~\frac{\,1\,}{\,12\,}(5x-3)&=&\frac{\,1\,}{\,4\,}(3x+7)\\[3pt]~~~\frac{\,1\,}{\,12\,}(5x-3){\, \small \times \,}12&=&\frac{\,1\,}{\,4\,}(3x+7){\, \small \times \,}12\end{eqnarray}\)
\(\begin{split}\frac{\,1\,}{\,12\,}{\, \small \times \,}12\end{split}\) と \(\begin{split}\frac{\,1\,}{\,4\,}{\, \small \times \,}12\end{split}\) を先に計算すると、
\(\require{cancel} \begin{eqnarray}~~~(5x-3){\, \small \times \,}\frac{\,1\,}{\,\cancel{12}^{1}\,}&{\, \small \times \,}&\cancel{12}^{1}\\[3pt]~~~&=&(3x+7){\, \small \times \,}\frac{\,1\,}{\,\cancel{4}^{1}\,}{\, \small \times \,}\cancel{12}^{3}\\[3pt]~~~(5x-3){\, \small \times \,}1&=&(3x+7){\, \small \times \,}3\\[2pt]~~~5x-3&=&3x{\, \small \times \,}3+7{\, \small \times \,}3\\[2pt]~~~5x-3&=&9x+21\end{eqnarray}\)
\(-3\) と \(9x\) を移項すると、符号がかわるので、
\(\begin{eqnarray}\hspace{38pt}~~~5x-9x&=&21+3\\[2pt]~~~(5-9)x&=&24\\[2pt]~~~-4x&=&24\end{eqnarray}\)
両辺を \(x\) の係数 \(-4\) でわると、
\(\require{cancel} \begin{eqnarray}\hspace{45pt}~~~\frac{\,-4x\,}{\,-4\,}&=&\frac{\,24\,}{\,-4\,}\\[3pt]~~~\frac{\,\cancel{-4}^{1}x\,}{\,\cancel{-4}^{1}\,}&=&-\frac{\,\cancel{24}^{6}\,}{\,\cancel{4}^{1}\,}\\[3pt]~~~x&=&-6\end{eqnarray}\)
したがって、解は \(x=-6\) となる
【問題一覧】中１｜１次方程式
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