比例式の性質の解法
Point：比例式の性質
\(\begin{split}a:b=c:d\end{split}\)
比例式は分数で表すことができるので、
\(\begin{split}\frac{\,a\,}{\,b\,}=\frac{\,c\,}{\,d\,}~\Leftrightarrow~ad=bc\end{split}\)
このように、比例式は外側の項のかけ算と内側の項のかけ算が等しくなる。
たとえば、\(\begin{split}x:15=2:3\end{split}\) では、
外側の項のかけ算＝内側の項のかけ算より、
\(\begin{eqnarray}\hspace{15pt}~~~x:15&=&2:3\\[2pt]~~~x{\, \small \times \,} 3&=&15{\, \small \times \,}2\\[2pt]~~~3x&=&30\\[2pt]~~~x&=&10\end{eqnarray}\)
比が等しいことを表す式を「比例式」という。
\(\begin{split}a:b=c:d\end{split}\)
比例式は分数で表すことができるので、
\(\begin{split}\frac{\,a\,}{\,b\,}=\frac{\,c\,}{\,d\,}~\Leftrightarrow~ad=bc\end{split}\)
このように、比例式は外側の項のかけ算と内側の項のかけ算が等しくなる。
たとえば、\(\begin{split}x:15=2:3\end{split}\) では、
外側の項のかけ算＝内側の項のかけ算より、
\(\begin{eqnarray}\hspace{15pt}~~~x:15&=&2:3\\[2pt]~~~x{\, \small \times \,} 3&=&15{\, \small \times \,}2\\[2pt]~~~3x&=&30\\[2pt]~~~x&=&10\end{eqnarray}\)
©︎ 2024 教科書より詳しい中学数学 jhs.yorikuwa.com
問題解説：比例式の性質
問題解説(1)
問題
\({\small (1)}~\)次の比例式で、\(x\) の値を求めよ。
① \(\begin{split}x:9=2:3\end{split}\)
② \(\begin{split}10:(x-5)=2:5\end{split}\)
③ \(\begin{split}x+4:x=14:6\end{split}\)
次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)次の比例式で、\(x\) の値を求めよ。
① \(\begin{split}x:9=2:3\end{split}\)
② \(\begin{split}10:(x-5)=2:5\end{split}\)
③ \(\begin{split}x+4:x=14:6\end{split}\)
① \(\begin{split}x:9=2:3\end{split}\)
外側の項のかけ算＝内側の項のかけ算より、
\(\begin{eqnarray}\hspace{9pt}~~~x:9&=&2:3\\[2pt]~~~x{\, \small \times \,} 3&=&9{\, \small \times \,}2\\[2pt]~~~3x&=&18\end{eqnarray}\)
両辺を \(x\) の係数 \(3\) でわると、
\(\require{cancel} \begin{eqnarray}~~~\frac{\,3x\,}{\,3\,}&=&\frac{\,18\,}{\,3\,}\\[3pt]~~~\frac{\,\cancel{3}^{1}x\,}{\,\cancel{3}^{1}\,}&=&\frac{\,\cancel{18}^{6}\,}{\,\cancel{3}^{1}\,}\\[3pt]~~~x&=&6\end{eqnarray}\)
したがって、答えは \(x=6\) となる
② \(\begin{split}10:(x-5)=2:5\end{split}\)
外側の項のかけ算＝内側の項のかけ算より、
\(\begin{eqnarray}~~~10:(x-5)&=&2:5\\[2pt]~~~10{\, \small \times \,} 5&=&(x-5){\, \small \times \,}2\\[2pt]~~~50&=&x{\, \small \times \,}2-5{\, \small \times \,}2\\[2pt]~~~50&=&2x-10\end{eqnarray}\)
両辺を入れかえて、\(-10\) を移項すると符号がかわるので、
\(\begin{eqnarray}\hspace{15pt}~~~2x-10&=&50\\[2pt]~~~2x&=&50+10\\[2pt]~~~2x&=&60\end{eqnarray}\)
両辺を \(x\) の係数 \(2\) でわると、
\(\require{cancel} \begin{eqnarray}\hspace{30pt}~~~\frac{\,2x\,}{\,2\,}&=&\frac{\,60\,}{\,2\,}\\[3pt]~~~\frac{\,\cancel{2}^{1}x\,}{\,\cancel{2}^{1}\,}&=&\frac{\,\cancel{60}^{30}\,}{\,\cancel{2}^{1}\,}\\[3pt]~~~x&=&30\end{eqnarray}\)
したがって、答えは \(x=30\) となる
③ \(\begin{split}x+4:x=14:6\end{split}\)
外側の項のかけ算＝内側の項のかけ算より、
\(\begin{eqnarray}~~~x+4:x&=&14:6\\[2pt]~~~(x+4){\, \small \times \,}6&=&14{\, \small \times \,} x\\[2pt]~~~x{\, \small \times \,}6+4{\, \small \times \,}6&=&14x\\[2pt]~~~6x+24&=&14x\end{eqnarray}\)
\(24\) と \(14x\) を移項すると符号がかわるので、
\(\begin{eqnarray}\hspace{14pt}~~~6x-14x&=&-24\\[2pt]~~~(6-14)x&=&-24\\[2pt]~~~-8x&=&-24\end{eqnarray}\)
両辺を \(x\) の係数 \(-8\) でわると、
\(\require{cancel} \begin{eqnarray}\hspace{26pt}~~~\frac{\,-8x\,}{\,-8\,}&=&\frac{\,-24\,}{\,-8\,}\\[3pt]~~~\frac{\,\cancel{-8}^{1}x\,}{\,\cancel{-8}^{1}\,}&=&\frac{\,\cancel{-24}^{3}\,}{\,\cancel{-8}^{1}\,}\\[3pt]~~~x&=&3\end{eqnarray}\)
したがって、答えは \(x=3\) となる
問題解説(2)
問題
\({\small (2)}~\)袋に入ったアメの重さが \(148~{\rm g}\) であった。同じアメ \(10\) 個では重さが \(40~{\rm g}\) であったとき、この袋に入ったアメは何個あるか答えよ。
次の問いに答えよ。
\({\small (2)}~\)袋に入ったアメの重さが \(148~{\rm g}\) であった。同じアメ \(10\) 個では重さが \(40~{\rm g}\) であったとき、この袋に入ったアメは何個あるか答えよ。
アメの個数を \(x\) 個とすると、アメの個数 \(:\) アメの重さの比が等しくなるのて、
\(\begin{split}\hspace{5pt}~~~x:148=10:40\end{split}\)
外側の項のかけ算＝内側の項のかけ算より、
\(\begin{eqnarray}\hspace{6pt}~~~x{\, \small \times \,}40&=&148{\, \small \times \,}10\\[2pt]~~~40x&=&1480\end{eqnarray}\)
両辺を \(x\) の係数 \(40\) でわると、
\(\require{cancel} \begin{eqnarray}~~~\frac{\,40x\,}{\,40\,}&=&\frac{\,1480\,}{\,40\,}\\[3pt]~~~\frac{\,\cancel{40}^{1}x\,}{\,\cancel{40}^{1}\,}&=&\frac{\,\cancel{1480}^{37}\,}{\,\cancel{40}^{1}\,}\\[3pt]~~~x&=&37\end{eqnarray}\)
したがって、袋に入ったアメは \(37\) 個となる
【問題一覧】中１｜１次方程式
このページは「中学数学１ １次方程式」の問題一覧ページとなります。解説の見たい単元名がわからないとき...
jhs.yorikuwa.com
