直線と平面の位置関係の解法
次の条件のとき、平面がただ１つに決まる。
① 同じ直線上にない３点をふくむ平面。
② 交わる２直線をふくむ平面。
③ 平行な２直線をふくむ平面。
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空間内の直線と平面の位置関係は、
① 直線が平面上にある
② 直線と平面が交わる
③ 直線と平面が平行である
また、直線 \(l\) が平面 \({\rm P}\) で交わるとき、点 \({\rm A}\) を通る平面 \({\rm P}\) 上のすべての直線が直線 \(l\) と垂直であるとき、
「直線 \(l\) と平面 \({\rm P}\)は垂直である」といい、直線 \(l\) は平面 \({\rm P}\) の「垂線」という。
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問題解説：直線と平面の位置関係
問題解説(1)
次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)次の三角柱について、以下の直線を答えよ。
① 平面 \({\rm ABC}\) 上の直線。
② 平面 \({\rm ABC}\) と平行な直線。
③ 平面 \({\rm ABC}\) と垂直な直線。
④ 平面 \({\rm ADEB}\) と平行な直線。
① \(\triangle {\rm ABC}\) について、
平面 \({\rm ABC}\) 上の直線は、
直線 \({\rm AB~,~BC~,~AC}\) となる
② \(\triangle {\rm ABC}\) について、
直線 \({\rm AB}\) と平行な直線 \({\rm DE}\)
直線 \({\rm BC}\) と平行な直線 \({\rm EF}\)
直線 \({\rm AC}\) と平行な直線 \({\rm DF}\)
よって、
直線 \({\rm DE~,~EF~,~DF}\) となる
③ \(\triangle {\rm ABC}\) について、
点 \({\rm A}\) で交わり、垂直な直線 \({\rm AD}\)
点 \({\rm B}\) で交わり、垂直な直線 \({\rm BE}\)
点 \({\rm C}\) で交わり、垂直な直線 \({\rm CF}\)
よって、
直線 \({\rm AD~,~BE~,~CF}\) となる
④ 四角形 \({\rm ADEB}\) について、
直線 \({\rm AD~(BE)}\) と平行な直線 \({\rm CF}\)
直線 \({\rm AB~,~DE}\) と平行な直線はない
よって、直線 \({\rm CF}\) となる
問題解説(2)
次の問いに答えよ。
\({\small (2)}~\)次の直方体の一部を切り取ってできた三角錐について、
① 平面 \({\rm ABC}\) 上の直線。\(\triangle {\rm ABC}\) を底面としたときの高さを答えよ。
② 平面 \({\rm ABC}\) と平行な直線。\(\triangle {\rm BCD}\) を底面としたときの高さを答えよ。
③ \(\triangle {\rm ABD}\) を底面としたときの高さを答えよ。
① \(\triangle {\rm ABC}\) を底面とすると、
\(\triangle {\rm ABC}\) と垂直に交わる直線は直線 \({\rm BD}\) となる
よって、高さは辺 \({\rm BD}\) となる
② \(\triangle {\rm BCD}\) を底面とすると、
\(\triangle {\rm BCD}\) と垂直に交わる直線は直線 \({\rm AB}\) となる
よって、高さは辺 \({\rm AB}\) となる
③ \(\triangle {\rm ABD}\) を底面とすると、
\(\triangle {\rm ABD}\) と垂直に交わる直線は直線 \({\rm BC}\) となる
よって、高さは辺 \({\rm BC}\) となる
