多項式と数の乗法・除法

Point：多項式と数の乗法・除法

■ 多項式と数の乗法

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① 分配法則を使って、(　) の中のそれぞれの項に数を掛け算する。
② それぞれの項を計算する。

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\(\begin{split}&3(x-y)\\[2pt]~~=~&3{\, \small \times \,} x +3 {\, \small \times \,}(-y)=3x-3y\end{split}\)

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※ うしろからの掛け算でも同じように計算する。

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\(\begin{split}&(x-y){\, \small \times \,}3\\[2pt]~=~&x{\, \small \times \,} 3-y {\, \small \times \,} 3=3x-3y\end{split}\)

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■ 多項式と数の除法

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① 割り算を逆数の掛け算にする。
② 分配法則を使って、(　) の中のそれぞれの項に数を掛け算して計算する。

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\(\begin{split}&(x-y){\, \small \div \,} 3
\\[3pt]~~=~&(x-y){\, \small \times \,}\frac{\,1\,}{\,3\,}
\\[3pt]~~=~&x{\, \small \times \,}\frac{\,1\,}{\,3\,}-y{\, \small \times \,}\frac{\,1\,}{\,3\,}=\frac{\,1\,}{\,3\,}x-\frac{\,1\,}{\,3\,}y
\end{split}\)

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©︎ 2024 教科書より詳しい中学数学 jhs.yorikuwa.com

問題

次の計算をせよ。

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\(\begin{split}{\small (1)}~2(a-3b)\end{split}\)

分配法則より、\(2\) を \(a\) と \(-3b\) にそれぞれ掛け算すると、

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\(\begin{split}&2(a-3b)\\[2pt]~~=~&2{\, \small \times \,} a+2{\, \small \times \,} (-3b)\\[2pt]~~=~&2a-6b\end{split}\)

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したがって、答えは \(2a-6b\) となる

問題

次の計算をせよ。

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\(\begin{split}{\small (2)}~\frac{\,1\,}{\,2\,}(10x-6y+8)\end{split}\)

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分配法則より、\(\begin{split}\frac{\,1\,}{\,2\,}\end{split}\) を \(10x\) と \(-6y\) と \(+8\) にそれぞれ掛け算すると、

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\(\require{cancel} \begin{split}&\frac{\,1\,}{\,2\,}(10x-6y+8)\\[3pt]~~=~&\frac{\,1\,}{\,2\,}{\, \small \times \,} 10x+\frac{\,1\,}{\,2\,}{\, \small \times \,} (-6y)+\frac{\,1\,}{\,2\,}{\, \small \times \,} 8\\[3pt]~~=~&\frac{\,\cancel{10}^{5}\,}{\,\cancel{2}^{1}\,}x-\frac{\,\cancel{6}^{3}\,}{\,\cancel{2}^{1}\,}y+\frac{\,\cancel{8}^{4}\,}{\,\cancel{2}^{1}\,}\\[3pt]~~=~&5x-3y+4\end{split}\)

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したがって、答えは \(5x-3y+4\) となる

問題

次の計算をせよ。

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\(\begin{split}{\small (3)}~(21a-15b){\, \small \div \,} 3\end{split}\)

割り算 \({\, \small \div \,} 3\) を逆数 \(\begin{split}{\frac{\,1\,}{\,3\,}}\end{split}\) の掛け算にかえると、

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\(\begin{split}&(21a-15b){\, \small \div \,} 3\\[3pt]~~=~&(21a-15b){\, \small \times \,}\frac{\,1\,}{\,3\,}\end{split}\)

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分配法則より、\(\begin{split}\frac{\,1\,}{\,3\,}\end{split}\) を \(21a\) と \(-15b\) にそれぞれ掛け算すると、

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\(\require{cancel} \begin{split}~~=~&21a{\, \small \times \,} \frac{\,1\,}{\,3\,}-15b{\, \small \times \,} \frac{\,1\,}{\,3\,}\\[3pt]~~=~&\frac{\,\cancel{21}^{7}\,}{\,\cancel{3}^{1}\,}a-\frac{\,\cancel{15}^{5}\,}{\,\cancel{3}^{1}\,}b\\[3pt]~~=~&7a-5b\end{split}\)

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したがって、答えは \(7a-5b\) となる

問題

次の計算をせよ。

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\(\begin{split}{\small (4)}~(10x^2-35x-5){\, \small \div \,}\frac{\,5\,}{\,2\,}\end{split}\)

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割り算 \(\begin{split}{\, \small \div \,} \frac{\,5\,}{\,2\,}\end{split}\) を逆数 \(\begin{split}{\frac{\,2\,}{\,5\,}}\end{split}\) の掛け算にかえると、

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\(\begin{split}&(10x^2-35x-5){\, \small \div \,}\frac{\,5\,}{\,2\,}\\[3pt]~~=~&(10x^2-35x-5){\, \small \times \,}\frac{\,2\,}{\,5\,}\end{split}\)

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分配法則より、\(\begin{split}\frac{\,2\,}{\,5\,}\end{split}\) を \(10x^2\) と \(-35x\) と \(-5\) にそれぞれ掛け算すると、

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\(\require{cancel} \begin{split}~~=~&10x^2{\, \small \times \,} \frac{\,2\,}{\,5\,}-35x{\, \small \times \,} \frac{\,2\,}{\,5\,}-5{\, \small \times \,} \frac{\,2\,}{\,5\,}
\\[3pt]~~=~&\frac{\,\cancel{10}^{2}{\, \small \times \,}2\,}{\,\cancel{5}^{1}\,}x^2-\frac{\,\cancel{35}^{7}{\, \small \times \,}2\,}{\,\cancel{2}^{1}\,}x-\frac{\,\cancel{5}^{1}{\, \small \times \,}2\,}{\,\cancel{5}^{1}\,}
\\[3pt]~~=~&2{\, \small \times \,} 2{\, \small \times \,} x^2-7{\, \small \times \,} 2{\, \small \times \,} x-1 {\, \small \times \,}2\\[3pt]~~=~&4x^2-14x-2\end{split}\)

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したがって、答えは \(4x^2-14x-2\) となる