根号の外し方

Point：根号の外し方

■ \(\sqrt{x}~,~-\sqrt{x}\) の根号の外し方

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① \(x=a^2\) となる数を見つける。

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② 符号はそのままで、\(\sqrt{x}=a\) として根号を外して表す。

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■ \(\sqrt{4}\) の値と \(4\) の平方根の違い

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\({\small (1)}~\)\(\sqrt{4}\) の値は？

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　\(4=2^2\) となることより、

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　\(\begin{split}~~~~~\sqrt{4}=\sqrt{2^2}=2\end{split}\)

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　　※ 正の数のみを答える。

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\({\small (2)}~\)\(4\) の平方根は？

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　２乗して \(4\) となる数を答えるので、

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　　\(+2\) と \(-2\) の２つあり答えは \(\pm 2\)

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問題

\({\small (1)}~\)次の数を根号を使わないで表せ。

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　①　\(\begin{split}\sqrt{16}\end{split}\)　\(\hspace{15pt}\)　　②　\(\begin{split}-\sqrt{49}\end{split}\)

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　③　\(\begin{split}\sqrt{\frac{\,25 \,}{\,64 \,}}\end{split}\)　\(\hspace{6pt}\)　　④　\(\begin{split}-\sqrt{\frac{\,81 \,}{\,100 \,}}\end{split}\)

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　⑤　\(\begin{split}-\sqrt{0.09}\end{split}\)　　　⑥　\(\begin{split}\sqrt{0.36}\end{split}\)

①　\(\begin{split}\sqrt{16}\end{split}\)

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２乗して \(16\) となる数で正の数を表すので、
\(4^2=16\) より、

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\(~~~\sqrt{16}=\sqrt{4^2}=4\)

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答えは、\(4\) となる

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②　\(\begin{split}-\sqrt{49}\end{split}\)

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２乗して \(49\) となる数で負の数を表すので、
\(7^2=49\) より、

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\(~~~-\sqrt{49}=-\sqrt{7^2}=-7\)

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答えは、 \(-7\) となる

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③　\(\begin{split}\sqrt{\frac{\,25 \,}{\,64 \,}}\end{split}\)

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２乗して \(\begin{split}{\frac{\,25\,}{\,64\,}}\end{split}\) となる数で正の数を表すので、

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\(\begin{split}~~~\left(\frac{\,5 \,}{\,8 \,}\right)^2=\frac{\,25 \,}{\,64 \,}\end{split}\)

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これより、

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\(\begin{split}~~~\sqrt{\frac{\,25 \,}{\,64 \,}}=\sqrt{\left(\frac{\,5 \,}{\,8 \,}\right)^2}=\frac{\,5 \,}{\,8 \,}\end{split}\)

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答えは、 \(\begin{split}{\frac{\,5\,}{\,8\,}}\end{split}\) となる

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④　\(\begin{split}-\sqrt{\frac{\,81 \,}{\,100 \,}}\end{split}\)

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２乗して \(\begin{split}{\frac{\,81\,}{\,100\,}}\end{split}\) となる数で負の数を表すので、

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\(\begin{split}~~~\left(\frac{\,9 \,}{\,10 \,}\right)^2=\frac{\,81 \,}{\,100 \,}\end{split}\)

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これより、

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\(\begin{split}~~~-\sqrt{\frac{\,81 \,}{\,100 \,}}=-\sqrt{\left(\frac{\,9 \,}{\,10 \,}\right)^2}=-\frac{\,9 \,}{\,10 \,}\end{split}\)

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答えは、 \(\begin{split}-{\frac{\,9\,}{\,10\,}}\end{split}\) となる

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⑤　\(\begin{split}-\sqrt{0.09}\end{split}\)

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２乗して \(0.09\) となる数で負の数を表すので、

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\(\left(0.3\right)^2=0.09\) より、

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\(~~~-\sqrt{0.09}=-\sqrt{\left(0.3\right)^2}=-0.3\)

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答えは、 \(-0.3\) となる

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【別解】
分数で表すと、

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\(\begin{split}~~~-\sqrt{0.09}=-\sqrt{\frac{\,9 \,}{\,100 \,}}\end{split}\)

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２乗して \(\begin{split}{\frac{\,9\,}{\,100\,}}\end{split}\) となる数で負の数を表すので、

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\(\begin{split}~~~\left(\frac{\,3 \,}{\,10 \,}\right)^2=\frac{\,9 \,}{\,100 \,}\end{split}\)

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これより、

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\(\begin{split}&-\sqrt{\frac{\,9 \,}{\,100 \,}}\\[3pt]~~=~&-\sqrt{\left(\frac{\,3 \,}{\,10 \,}\right)^2}=-\frac{\,3 \,}{\,10 \,}=-0.3\end{split}\)

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答えは、 \(\begin{split}-{\frac{\,3\,}{\,10\,}}=-0.3\end{split}\) となる

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⑥　\(\begin{split}\sqrt{0.36}\end{split}\)

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２乗して \(0.36\) となる数で正の数を表すので、

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\(\left(0.6\right)^2=0.36\) より、

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\(~~~\sqrt{0.36}=\sqrt{\left(0.6\right)^2}=0.6\)

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答えは、 \(0.6\) となる

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【別解】
分数で表すと、

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\(\begin{split}~~~\sqrt{0.36}=\sqrt{\frac{\,36 \,}{\,100 \,}}\end{split}\)

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２乗して \(\begin{split}{\frac{\,36\,}{\,100\,}}\end{split}\) となる数で正の数を表すので、

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\(\begin{split}~~~\left(\frac{\,6 \,}{\,10 \,}\right)^2=\frac{\,36 \,}{\,100 \,}\end{split}\)

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これより、

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\(\begin{split}&\sqrt{\frac{\,36 \,}{\,100 \,}}\\[3pt]~~=~&\sqrt{\left(\frac{\,6 \,}{\,10 \,}\right)^2}=\frac{\,6 \,}{\,10 \,}=\frac{\,3 \,}{\,5 \,}=0.6\end{split}\)

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答えは、 \(\begin{split}{\frac{\,3\,}{\,5\,}}=0.6\end{split}\) となる

問題

\({\small (2)}~\)次の文を正しい文にせよ。

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　①　\(\sqrt{49}=\pm7\) である。

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　②　\(25\) の平方根は \(5\) である。

①　\(\sqrt{49}\) の値を求めると、

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\(~~~\sqrt{49}=\sqrt{7^2}=7\)

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よって、正の数 \(7\) だけとなる

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したがって、
　正しい文は「\(\sqrt{49}=7\) である。」

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②　２乗して \(25\) となる数を答えるので、

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　\(+5\) と \(-5\) の２つより、\(\pm5\) となる

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したがって、
　正しい文は「\(25\) の平方根は \(\pm5\) である。」