平方根を含む式の値の解法
Point：平方根を含む式の値
\(x=1+\sqrt{2}~,~y=1-\sqrt{2}\) のとき、
\(x^2-2x+1\) や \(x^2-y^2\) の値は？
① 求める式を値を代入する前に式変形する。
② 代入して式の値を求める。
※ 代入するときは値に( )を付けて代入する。
例えば、
\(\begin{split}&x^2-2x+1
\\[2pt]~~=~&(x-1)^2
\end{split}\)
\(x=1+\sqrt{2}\) を代入すると、
\(\begin{split}~~=~&\left\{(1+\sqrt{2})-1\right\}^2
\\[2pt]~~=~&\left(\sqrt{2}\right)^2=2
\end{split}\)
\(\begin{split}&x^2-y^2
\\[2pt]~~=~&(x+y)(x-y)
\end{split}\)
ここで、
\(\begin{eqnarray}~~~~~x+y&=&\left(1+\sqrt{2}\right)+\left(1-\sqrt{2}\right)=2
\\[2pt]~~~~~x-y&=&\left(1+\sqrt{2}\right)-\left(1-\sqrt{2}\right)=2\sqrt{2}
\end{eqnarray}\)
これらを代入すると、
\(\begin{split}~~=~&2{\, \small \times \,}2\sqrt{2}=4\sqrt{2}
\end{split}\)
平方根を含む条件式を代入する式の値は、
\(x=1+\sqrt{2}~,~y=1-\sqrt{2}\) のとき、
\(x^2-2x+1\) や \(x^2-y^2\) の値は？
① 求める式を値を代入する前に式変形する。
② 代入して式の値を求める。
※ 代入するときは値に( )を付けて代入する。
例えば、
\(\begin{split}&x^2-2x+1
\\[2pt]~~=~&(x-1)^2
\end{split}\)
\(x=1+\sqrt{2}\) を代入すると、
\(\begin{split}~~=~&\left\{(1+\sqrt{2})-1\right\}^2
\\[2pt]~~=~&\left(\sqrt{2}\right)^2=2
\end{split}\)
\(\begin{split}&x^2-y^2
\\[2pt]~~=~&(x+y)(x-y)
\end{split}\)
ここで、
\(\begin{eqnarray}~~~~~x+y&=&\left(1+\sqrt{2}\right)+\left(1-\sqrt{2}\right)=2
\\[2pt]~~~~~x-y&=&\left(1+\sqrt{2}\right)-\left(1-\sqrt{2}\right)=2\sqrt{2}
\end{eqnarray}\)
これらを代入すると、
\(\begin{split}~~=~&2{\, \small \times \,}2\sqrt{2}=4\sqrt{2}
\end{split}\)
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問題解説：平方根を含む式の値
問題解説(1)
問題
\({\small (1)}~\)\(x=3+\sqrt{5}\) のとき、次の式の値を求めよ。
① \(\begin{split}2x-3\end{split}\)
② \(\begin{split}x^2-6x+9\end{split}\)
次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)\(x=3+\sqrt{5}\) のとき、次の式の値を求めよ。
① \(\begin{split}2x-3\end{split}\)
② \(\begin{split}x^2-6x+9\end{split}\)
① \(\begin{split}2x-3\end{split}\)
求める式はこれ以上計算できないので、そのまま代入すると、
※ 代入するときは値に( )を付けて代入する。
\(\begin{split}&2{\, \small \times \,} \left(3+\sqrt{5}\right)-3\\[2pt]~~=~&2{\, \small \times \,}3+2{\, \small \times \,}\sqrt{5}-3\\[2pt]~~=~&6+2\sqrt{5}-3\end{split}\)
定数項をまとめて計算すると、
\(\begin{split}~~=~&(6-3)+2\sqrt{5}\\[2pt]~~=~&3+2\sqrt{5}\end{split}\)
したがって、答えは \(3+2\sqrt{5}\) となる
② \(\begin{split}x^2-6x+9\end{split}\)
求める式を因数分解の公式より式変形すると、
\(\begin{split}&x^2-6x+9\\[2pt]~~=~&(x-3)^2\end{split}\)
この式に \(x=3+\sqrt{5}\) を代入すると、
※ 代入するときは値に( )を付けて代入する。
\(\begin{split}&\left\{(3+\sqrt{5})-3\right\}^2\\[2pt]~~=~&\left(3-3+\sqrt{5}\right)^2\\[2pt]~~=~&\left(\sqrt{5}\right)^2\\[2pt]~~=~&5\end{split}\)
したがって、答えは \(5\) となる
問題解説(2)
問題
\({\small (2)}~\)\(x=\sqrt{3}+\sqrt{2}~,~y=\sqrt{3}-\sqrt{2}\) のとき、次の式の値を求めよ。
① \(\begin{split}x+y\end{split}\)
② \(\begin{split}x-y\end{split}\)
③ \(\begin{split}xy\end{split}\)
④ \(\begin{split}x^2-y^2\end{split}\)
⑤ \(\begin{split}x^2+2xy+y^2\end{split}\)
次の問いに答えよ。
\({\small (2)}~\)\(x=\sqrt{3}+\sqrt{2}~,~y=\sqrt{3}-\sqrt{2}\) のとき、次の式の値を求めよ。
① \(\begin{split}x+y\end{split}\)
② \(\begin{split}x-y\end{split}\)
③ \(\begin{split}xy\end{split}\)
④ \(\begin{split}x^2-y^2\end{split}\)
⑤ \(\begin{split}x^2+2xy+y^2\end{split}\)
① \(\begin{split}x+y\end{split}\)
求める式はこれ以上計算できないので、そのまま代入すると、
※ 代入するときは値に( )を付けて代入する。
\(\begin{split}&\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)+\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)\\[2pt]~~=~&\sqrt{3}+\sqrt{3}+\sqrt{2}-\sqrt{2}\end{split}\)
\(\sqrt{3}\) と \(\sqrt{2}\) を文字として考えてまとめると、
\(\begin{split}~~=~&(1+1)\sqrt{3}+(1-1)\sqrt{2}\\[2pt]~~=~&2\sqrt{3}\end{split}\)
したがって、答えは \(2\sqrt{3}\) となる
② \(\begin{split}x-y\end{split}\)
求める式はこれ以上計算できないので、そのまま代入すると、
※ 代入するときは値に( )を付けて代入する。
\(\begin{split}&\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)-\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)\\[2pt]~~=~&\sqrt{3}+\sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{2}\\[2pt]~~=~&\sqrt{3}-\sqrt{3}+\sqrt{2}+\sqrt{2}\end{split}\)
\(\sqrt{3}\) と \(\sqrt{2}\) を文字として考えてまとめると、
\(\begin{split}~~=~&(1-1)\sqrt{3}+(1+1)\sqrt{2}\\[2pt]~~=~&2\sqrt{2}\end{split}\)
したがって、答えは \(2\sqrt{2}\) となる
③ \(\begin{split}xy\end{split}\)
求める式はこれ以上計算できないので、そのまま代入すると、
※ 代入するときは値に( )を付けて代入する。
\(\begin{split}&\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)\end{split}\)
２乗-２乗の乗法公式より、
\(\begin{split}~~=~&\left(\sqrt{3}\right)^2-\left(\sqrt{2}\right)^2\\[2pt]~~=~&3-2\\[2pt]~~=~&1\end{split}\)
したがって、答えは \(1\) となる
④ \(\begin{split}x^2-y^2\end{split}\)
求める式を因数分解の公式より式変形すると、
\(\begin{split}&x^2-y^2\\[2pt]~~=~&(x+y)(x-y)\end{split}\)
ここで、①と②の問題より、
\(\begin{split}~~~x+y=2\sqrt{3}~,~x-y=2\sqrt{2}\end{split}\)
これらを代入すると、
\(\begin{split}~~=~&2\sqrt{3}{\, \small \times \,}2\sqrt{2}\\[2pt]~~=~&2{\, \small \times \,}2{\, \small \times \,}\sqrt{3{\, \small \times \,}2}\\[2pt]~~=~&4\sqrt{6}\end{split}\)
したがって、答えは \(4\sqrt{6}\) となる
⑤ \(\begin{split}x^2+2xy+y^2\end{split}\)
求める式を因数分解の公式より式変形すると、
\(\begin{split}&x^2+2xy+y^2\\[2pt]~~=~&(x+y)^2\end{split}\)
①より、\(x+y=2\sqrt{3}\) を代入すると、
\(\begin{split}~~=~&\left(2\sqrt{3}\right)^2\\[2pt]~~=~&2^2{\, \small \times \,}\left(\sqrt{3}\right)^2\\[2pt]~~=~&4{\, \small \times \,}3\\[2pt]~~=~&12\end{split}\)
したがって、答えは \(12\) となる
【問題一覧】中３｜平方根
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