中点連結定理の解法
■ 中点連結定理
\(\triangle {\rm ABC}\) の２辺 \({\rm AB~,~AC}\) の中点をそれぞれ \({\rm M~,~N}\) とすると、
線分 \({\rm MN}\) と辺 \({\rm BC}\) は平行となる。
\(\begin{split}{\rm MN\,//\,BC}\end{split}\)
線分 \({\rm MN}\) の長さは辺 \({\rm BC}\) の長さの半分となる。
\(\begin{split}{\rm MN}=\frac{\,1\,}{\,2\,}{\rm BC}\end{split}\)
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問題解説：中点連結定理
問題解説(1)
次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)次の \(\triangle {\rm ABC}\) において、点 \({\rm D~,~E}\) がそれぞれ辺 \({\rm AB~,~AC}\) の中点であるとき、
① 辺 \({\rm BC}\) と線分 \({\rm DE}\) の関係を答えよ。
② 線分 \({\rm DE}\) の長さを求めよ。
① 中点連結定理より、
\({\rm DE\,//\,BC}\)
となる
② 中点連結定理より、
\(\begin{split}~~~{\rm DE}=\frac{\,1\,}{\,2\,}{\rm BC}\end{split}\)
\({\rm BC}=15~{\rm cm}\) より、
\(\begin{split}~~~{\rm DE}=\frac{\,1\,}{\,2\,}\times15=\frac{\,15\,}{\,2\,}~{\rm cm}\end{split}\)
したがって、\(\begin{split}{\frac{\,15\,}{\,2\,}} ~{\rm cm}\end{split}\) となる
問題解説(2)
次の問いに答えよ。
\({\small (2)}~\)次の \(\triangle {\rm ABC}\) において、点 \({\rm D~,~E~,~F}\) がそれぞれ辺 \({\rm AB~,~BC~,~AC}\) の中点であるとき、
① \(\triangle {\rm DEF}\) の周の長さを求めよ。
② 合同な図形をすべて答えよ。
③ 相似である \(\triangle {\rm ABC}\) と \(\triangle {\rm EFD}\) の相似条件と相似比を求めよ。
①
\(\triangle {\rm ABC}\) と線分 \({\rm DF}\) の中点連結定理より、
\(\begin{split}~~~{\rm DF}=\frac{\,1\,}{\,2\,}{\rm BC}=\frac{\,1\,}{\,2\,}\times15=6~~{\rm cm}\end{split}\)
\(\triangle {\rm BAC}\) と線分 \({\rm DE}\) の中点連結定理より、
\(\begin{split}~~~{\rm DE}=\frac{\,1\,}{\,2\,}{\rm AC}=\frac{\,1\,}{\,2\,}\times8=4~~{\rm cm}\end{split}\)
\(\triangle {\rm CAB}\) と線分 \({\rm FE}\) の中点連結定理より、
\(\begin{split}~~~{\rm FE}=\frac{\,1\,}{\,2\,}{\rm AC}=\frac{\,1\,}{\,2\,}\times10=5~~{\rm cm}\end{split}\)
よって、\(\triangle {\rm DED}\) の周の長さは、
\(\begin{split}~~~{\rm DF+DE+FE}=6+4+5=15\end{split}\)
したがって、\(15~{\rm cm}\) となる
② 中点連結定理より、
\(\begin{split}~~~{\rm DF}=\frac{\,1\,}{\,2\,}{\rm BC}~,~{\rm DE}=\frac{\,1\,}{\,2\,}{\rm AC}~,~{\rm FE}=\frac{\,1\,}{\,2\,}{\rm AB}\end{split}\)
であるので、
\(\begin{split}&{\rm DF=BE=EC}\\[2pt]~~~&{\rm DE=AF=FC}\\[2pt]~~~&{\rm FE=AD=DB}\end{split}\)
３辺がそれぞれ等しいから、
\(\triangle {\rm ADF}~,~\triangle {\rm DBE}~,~\triangle {\rm FEC}~,~\triangle {\rm EFD}\)
が合同である
③
中点連結定理より、
\(\begin{split}~~~{\rm DF}=\frac{\,1\,}{\,2\,}{\rm BC}~,~{\rm DE}=\frac{\,1\,}{\,2\,}{\rm AC}~,~{\rm FE}=\frac{\,1\,}{\,2\,}{\rm AB}\end{split}\)
これより、
\(\begin{split}~~~{\rm AB:EF=AC:ED=BC:FD}=2:1\end{split}\)
したがって、
相似条件は、３組の辺の比がそれぞれ等しい
相似比は \(2:1\)
となる
問題解説(3)
次の問いに答えよ。
\({\small (3)}~\)次の四角形 \({\rm ABCD}\) において、点 \({\rm E}\) は辺 \({\rm AB}\) の中点であり、線分 \({\rm AD}\) と \({\rm EF}\) と \({\rm BC}\) は平行である。また、対角線 \({\rm AC}\) と線分 \({\rm EF}\) の交点を \({\rm G}\) とすると、
① \({\rm AG:GC}\) の比を求めよ。
② \({\rm CF:FD}\) の比を求めよ。
③ 線分 \({\rm EF}\) の長さを求めよ。
① \(\triangle {\rm ABC}\) について、
\({\rm EG\,//\,BC}\) から、三角形の線分の比の定理より、
\(\begin{split}~~~{\rm AG:GC=AE:EB}=1:1\end{split}\)
したがって、
\({\rm AG:GC=}1:1\)
となる
② \(\triangle {\rm CAD}\) について、
\({\rm GF\,//\,AD}\) から、三角形の線分の比の定理より、
\(\begin{split}~~~{\rm CF:FD=CG:GA}=1:1\end{split}\)
したがって、
\({\rm CF:FD=}1:1\)
となる
③
\(\triangle {\rm ABC}\) の中点連結定理より、
\(\begin{split}~~~{\rm EG}=\frac{\,1\,}{\,2\,}{\rm BC}=\frac{\,1\,}{\,2\,}\times10=5~~{\rm cm}\end{split}\)
\(\triangle {\rm CAD}\) の中点連結定理より、
\(\begin{split}~~~{\rm GF}=\frac{\,1\,}{\,2\,}{\rm AD}=\frac{\,1\,}{\,2\,}\times8=4~~{\rm cm}\end{split}\)
よって、
\(\begin{split}~~~{\rm EF=EG+GF}=5+4=9~~{\rm cm}\end{split}\)
したがって、\(9~~{\rm cm}\)となる
