学校図書：中学校数学３

p.182 問1 中心角の半分が円周角となる

p.183 問2\({\small (1)}~\)二等辺三角形

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\({\small (2)}~\angle{\rm AOB}\)

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\({\small (3)}~\)[証明] 円の半径より、\({\rm OB=OP}\) となるので、\(\triangle {\rm OBP}\) は二等辺三角形である
底角が等しいので、
　\(\angle{\rm OBP}=\angle{\rm OPB}~~~\cdots{\large ①}\)
\(\triangle {\rm OBP}\) の外角は他の２つの内角の和に等しいので、
　\(\angle{\rm AOP}=\angle{\rm OBP}+\angle{\rm OPB}\)①より、
　\(\angle{\rm AOP}=2\angle{\rm OPB}\)
したがって、
　\(\angle{\rm APB}={\large \frac{\,1\,}{\,2\,}}\angle{\rm AOB}\)
[終]

p.184 問3　\(\angle{\rm OAP}~,~\angle{\rm OPA}+\angle{\rm OAP}\)
　\(\angle{\rm BOQ}~,~\angle{\rm APB}\)

p.185 問4\(\begin{split}{\small (1)}~\angle x=55^\circ~,~\angle y=110^\circ\end{split}\)
\(\begin{split}{\small (2)}~\angle x=130^\circ\end{split}\)
\(\begin{split}{\small (3)}~\angle x=90^\circ~,~\angle y=70^\circ\end{split}\)

p.186 問5　\(\overset{\frown}{\rm BC}\) は \(2\) 倍、\(\overset{\frown}{\rm CD}\) は \(3\) 倍

p.187 問6　\(\angle{\rm AOB}~,~\angle{\rm COD}~,~\angle{\rm COD}\)

p.187 問7\(\begin{split}\angle{\rm APB}=\angle{\rm CQD}\end{split}\) ならば、\(\begin{split}\overset{\frown}{\rm AB}=\overset{\frown}{\rm CD}\end{split}\)

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[証明] \(\begin{split}\angle{\rm APB}=\angle{\rm CQD}\end{split}\) とすると、
１つの円で、等しい円周角に対する中心角は等しいので、
\(\begin{split}~~~\angle{\rm AOB}=\angle{\rm COD}\end{split}\)
１つの円で、等しい中心角に対する弧の長さは等しいので、
\(\begin{split}~~~\overset{\frown}{\rm AB}=\overset{\frown}{\rm CD}\end{split}\)
[終]

p.188 問8\(\begin{split}{\small (1)}~\angle x=56^\circ\end{split}\)　　\(\begin{split}{\small (2)}~\angle x=26^\circ\end{split}\)

p.188 問9\(\begin{split}{\small (1)}~x=4~{\rm cm}\end{split}\)　　\(\begin{split}{\small (2)}~\angle x=44^\circ\end{split}\)
\(\begin{split}{\small (3)}~\angle x=30^\circ\end{split}\)

p.190 問1[証明] 円周角の定理より、
\(\begin{split}~~~\angle{\rm AQB}=\angle{\rm AP’B}\end{split}\)
\(\triangle {\rm PP’A}\) の内角と外角の性質より、
\(\begin{split}~~~\angle{\rm APB}+\angle{\rm PAP’}=\angle{\rm AP’B}\end{split}\)
よって、
\(\begin{split}~~~\angle{\rm APB}+\angle{\rm PAP’}=\angle{\rm AQB}\end{split}\)
これより、
\(\begin{split}~~~\angle{\rm APB}<\angle{\rm AQB}\end{split}\)

p.190 問2　イ、ウ

p.191 確かめよう 1\(\begin{split}{\small (1)}~\angle x=50^\circ\end{split}\)　　\(\begin{split}{\small (2)}~\angle x=240^\circ\end{split}\)
\(\begin{split}{\small (3)}~\angle x=90^\circ\end{split}\)

p.191 確かめよう 2\(\begin{split}{\small (1)}~\angle x=30^\circ\end{split}\)　　\(\begin{split}{\small (2)}~\angle x=45^\circ\end{split}\)

p.191 確かめよう 3　\(\begin{split}\angle {\rm BDC}=42^\circ\end{split}\)

p.191 確かめよう 4　４点 \({\rm B~,~C~,~D~,~E}\)

p.192 問1\(\begin{split}~~~{\rm DP}=\frac{\,36\,}{\,5\,}=7.2~{\rm cm}\end{split}\)

p.192 問2[証明] \(\triangle {\rm ADP}\) と \(\triangle {\rm CBP}\) において、
\(\overset{\frown}{{\rm BD}}\) の円周角より、
　\(\angle{\rm PAD}=\angle{\rm PCB}~~~\cdots{\large ①}\)
共通の角より、
　\(\angle{\rm APD}=\angle{\rm CPB}~~~\cdots{\large ②}\)
①、②より、２組の角がそれぞれ等しいので、
　\(\triangle {\rm ADP}\,\,\unicode{x223D}\,\,\triangle {\rm CBP}\)
[終]

p.193 問3\(\begin{split}\overset{\frown}{\rm AC}=\overset{\frown}{\rm BD}\end{split}\) ならば、\({\rm AB\,//\,CD}\)

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[証明] ２点 \({\rm B~,~C}\) を結ぶ
円周角の定理より、
\(\begin{split}\overset{\frown}{\rm AC}=\overset{\frown}{\rm BD}\end{split}\) より、
　\(\angle{\rm ABC}=\angle{\rm DCB}\)
錯角が等しいので、
　\({\rm AB\,//\,CD}\)
[終]

p.193 問4[証明] \(\triangle {\rm ABE}\) と \(\triangle {\rm DBC}\) において、
円周角の定理より、
　\(\angle{\rm BAE}=\angle{\rm BDC}~~~\cdots{\large ①}\)
　\(\angle{\rm ABE}=\angle{\rm DBC}~~~\cdots{\large ②}\)
①、②より、２組の角がそれぞれ等しいので、
　\(\triangle {\rm ABE}\,\,\unicode{x223D}\,\,\triangle {\rm DBC}\)
[終]

p.193 問5[証明] 平行四辺形の対角が等しいので、
\(\begin{split}~~~\angle{\rm BAD}=\angle{\rm BCD}\end{split}\)
ここで、\(\begin{split}\angle{\rm BCD}=\angle{\rm BC’D}\end{split}\) より、
\(\begin{split}~~~\angle{\rm BAD}=\angle{\rm BC’D}\end{split}\)
円周角の定理の逆より、４点 \({\rm A~,~B~,~D~,~C’}\) は同一円周上にある [終]

p.194 問1

接線と半径は垂直に交わる

p.196 問2[証明] \(\triangle {\rm PAO}\) と \(\triangle {\rm PBO}\) において、
円の半径で等しいから
　\({\rm OA=OB}~~~\cdots{\large ①}\)
円の接線は接点を通る半径に垂直であるから、
　\(\angle{\rm OAP}=\angle{\rm OBP}=90^\circ~~~\cdots{\large ②}\)
共通の辺より、
　\({\rm PO=PO}~~~\cdots{\large ③}\)
①、②、③より、直角三角形の斜辺と他の１辺がそれぞれ等しいから、
　\(\triangle {\rm PAO}\equiv\triangle {\rm PBO}\)
合同な図形の対応する辺は等しいから
　\({\rm PA=PB}\)
[終]

p.196 確かめよう 1[証明] 直径 \({\rm AC}\) に対する円周角より、
　\(\angle{\rm ABC}=\angle{\rm ADC}=90^\circ~~~\cdots{\large ①}\)
直径 \({\rm BD}\) に対する円周角より、
　\(\angle{\rm BAD}=\angle{\rm BCD}=90^\circ~~~\cdots{\large ②}\)
①、②より、４つの角がすべて直角であるので、四角形 \({\rm ABCD}\) は長方形である [終]

p.196 確かめよう 2三角定規で直角をとれば、直径が描ける
２本の直径を描くことで、その交点が円の中心となる