【問題一覧】中２｜合同な図形

【解答】
\({\small (1)}~\)
　①　\(\angle c\)　　　②　\(\angle e\)
　③　\(\angle h\)　　　④　\(\angle e\)

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\({\small (2)}~\)
　①　直線 \(p\) に対する同位角が \(60^\circ\) で等しいので、２直線が平行 \(l\,//\,m\) となる
　②　\(\angle a=60^\circ~,~\angle b=70^\circ~,~\angle c=110^\circ\)

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\({\small (3)}~\)\(\angle x=50^\circ\)

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\({\small (4)}~\)\(l\,//\,m\) の同位角が等しいことより、
\(~~~\angle a=\angle b\)
\(l\,//\,n\) の同位角が等しいことより、
\(~~~\angle a=\angle c\)
よって、
\(~~~\angle b=\angle c\)
同位角が等しいので、２直線 \(m~,~n\) が平行となり、\(m\,//\,n\)

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【解答】
\({\small (1)}~\)
　①　\(\angle x=70^\circ\)
　②　\(\angle x=55^\circ\)
　③　\(\angle x=70^\circ\)
　④　\(\angle x=70^\circ\)
　⑤　\(\angle x=90^\circ\)
\({\small (2)}~\)
　①　直角三角形
　②　鋭角三角形
　③　鈍角三角形

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【解答】
\({\small (1)}~\)
　①　\(1440^\circ\)　　　②　\(360^\circ\)
\({\small (2)}~\)
　①　\(1800^\circ\)　　　②　\(360^\circ\)
　③　\(150^\circ\)　　　④　\(30^\circ\)
\({\small (3)}~\)
　①　十一角形　　　②　正八角形
\({\small (4)}~\)
　①　\(\angle x=120^\circ\)　　　②　\(\angle x=100^\circ\)

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【解答】
\({\small (1)}~\)
　①　\(\triangle {\rm ABC}\equiv \triangle {\rm DEF}\)
　②　\({\rm AB=DE~,~BC=EF~,~AC=DF}\)
　③　\({\rm \angle A=\angle D~,~\angle B=\angle E~,~\angle C=\angle F}\)

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\({\small (2)}~\)
　①　四角形 \( {\rm ABCD}\equiv\) 四角形 \({\rm HGFE}\)
　②　\(\angle {\rm A}=140^\circ\)
　③　\(\angle {\rm E}=90^\circ\)
　④　\({\rm EF}=7~{\rm cm}\)

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【解答】
\({\small (1)}~\)
　①と⑤、\(\triangle {\rm ABC}\equiv \triangle {\rm NMO}\)
　　３組の辺がそれぞれ等しい
　②と③、\(\triangle {\rm DEF}\equiv \triangle {\rm IGH}\)
　　２組の辺とその間の角がそれぞれ等しい
　④と⑥、\(\triangle {\rm JKL}\equiv \triangle {\rm PQR}\)
　　１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい

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\({\small (2)}~\)
　①　\(\triangle {\rm ABC}\equiv \triangle {\rm ADC}\)
　　３組の辺がそれぞれ等しい
　②　\(\triangle {\rm AOC}\equiv \triangle {\rm BOD}\)
　　２組の辺とその間の角がそれぞれ等しい
　③　\(\triangle {\rm AOD}\equiv \triangle {\rm BOC}\)
　　１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい

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【解答】
\({\small (1)}~\)仮定：\(\triangle {\rm ABC}\equiv \triangle {\rm DEF}\)
　結論：\({\rm AB=DF}\)

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\({\small (2)}~\)仮定：\(l\,//\,m~,~m\,//\,n\)
　結論：\(l\,//\,n\)

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\({\small (3)}~\)仮定：\(x\) が \(10\) の倍数
　結論：\(x\) は \(2\) の倍数

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\({\small (4)}~\)仮定：三角形
　結論：内角の和は \(180^\circ\)

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【解答】
\({\small (1)}~\)
　①　三角形の内角の和は \(180^\circ\) である
　②　三角形の外角は、それととなり合わない２つの内角の和に等しい
　③　対頂角が等しい
　④　２直線が平行ならば、同位角は等しい
　⑤　２直線が平行ならば、錯角は等しい
　⑥　同位角が等しければ、その２直線は平行である
　⑦　錯角が等しければ、その２直線は平行である
　⑧　合同な図形では、対応する線分や角は等しい

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\({\small (2)}~\)
[証明] \(\triangle {\rm ABC}\) と \(\triangle {\rm ADC}\) において、
仮定より、
　\({\rm AB=AD}~~~\cdots{\large ①}\)
　\({\rm BC=DC}~~~\cdots{\large ②}\)
また、共通の辺から、
　\({\rm AC=AC}~~~\cdots{\large ③}\)
①、②、③より、
３組の辺がそれぞれ等しいから、
　\(\triangle {\rm ABC}\equiv\triangle {\rm ADC}\)
[終]

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【解答】
\({\small (1)}~\)
[証明] \(\triangle {\rm ACO}\) と \(\triangle {\rm BDO}\) において、
仮定より、
　\({\rm AO=BO}~~~\cdots{\large ①}\)
　\({\rm CO=DO}~~~\cdots{\large ②}\)
また、対頂角から、
　\(\angle{\rm AOC}=\angle{\rm BOD}~~~\cdots{\large ③}\)
①、②、③より、
２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいから、
　\(\triangle {\rm ACO}\equiv\triangle {\rm BDO}\)
合同な図形では対応する角の大きさは等しいから、
　\(\angle{\rm ACO}=\angle{\rm BDO}\)
錯角が等しいから、
　\({\rm AC\,//\,DB}\)
[終]

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\({\small (2)}~\)
[証明] \(\triangle {\rm AOD}\) と \(\triangle {\rm BOD}\) において、
仮定より、
　\({\rm AO=BO}~~~\cdots{\large ①}\)
\({\rm AD\,//\,CB}\) より錯角が等しいから、
　\(\angle{\rm DAO}=\angle{\rm CBO}~~~\cdots{\large ②}\)
また、対頂角から、
　\(\angle{\rm AOD}=\angle{\rm BOC}~~~\cdots{\large ③}\)
①、②、③より、
１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいから、
　\(\triangle {\rm AOD}\equiv\triangle {\rm BOD}\)
合同な図形では対応する辺の長さは等しいから、
　\({\rm AD=CB}\)
[終]

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\({\small (3)}~\)
[証明] \(\triangle {\rm POR}\) と \(\triangle {\rm QOR}\) において、
仮定より、点 \({\rm O}\) を中心とした円と半直線 \({\rm OA~,~OB}\) の交点が \({\rm P~,~Q}\) より、
　\({\rm OP=OQ}~~~\cdots{\large ①}\)
点 \({\rm P~,~Q}\) を中心とした同じ半径の円の交点が \({\rm R}\) より、
　\({\rm PR=QR}~~~\cdots{\large ②}\)
また、共通の辺から、
　\({\rm OR=OR}~~~\cdots{\large ③}\)
①、②、③より、
３組の辺がそれぞれ等しいから、
　\(\triangle {\rm POR}\equiv\triangle {\rm QOR}\)
合同な図形では対応する角の大きさは等しいから、
　\(\angle{\rm POR}=\angle{\rm QOR}\)
これより、
　\(\angle{\rm AOR}=\angle{\rm BOR}\)
したがって、半直線 \({\rm OR}\) が \(\angle {\rm AOB}\) を二等分する
[終]

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