【問題一覧】中３｜展開と因数分解

【解答】
\({\small (1)}~3ax-6ay\)
\({\small (2)}~-4a^2+6ab\)
\({\small (3)}~6x^2-9xy+3xz\)
\({\small (4)}~5a^2+11a\)
\({\small (5)}~-x^2+13x\)
\({\small (6)}~-3a+7b\)
\({\small (7)}~10x+15\)
\({\small (8)}~-6a+15\)

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【解答】
\({\small (1)}~xy+3x-2y-6\)
\({\small (2)}~ab-5a-b+5\)
\({\small (3)}~2a^2-5a-3\)
\({\small (4)}~3x^2-8xy+5y^2\)
\({\small (5)}~x^2-xy+4x-y+3\)
\({\small (6)}~a^2-2ab+a+6b-12\)

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【解答】
\({\small (1)}~x^2+2x-15\)
\({\small (2)}~a^2-6a+8\)
\({\small (3)}~x^2+6x+9\)
\({\small (4)}~a^2-4a+4\)
\({\small (5)}~x^2-9\)
\({\small (6)}~25-a^2\)

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【解答】
\({\small (1)}~9x^2-12x+4\)
\({\small (2)}~4x^2+8x-5\)
\({\small (3)}~25x^2+70xy+49y^2\)
\({\small (4)}~4a^2-9b^2\)
\({\small (5)}~x^2+2xy+y^2-4x-4y-5\)
\({\small (6)}~a^2-2ab+b^2+6a-6b+9\)
\({\small (7)}~x^2+x+6\)
\({\small (8)}~10a-34\)

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【解答】
\({\small (1)}~x(x-5)\)
\({\small (2)}~2ab(3a-2b)\)
\({\small (3)}~5xy(3x-2y+1)\)
\({\small (4)}~2a(2a^2+4a-1)\)

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【解答】
\({\small (1)}~(x+2)(x+3)\)
\({\small (2)}~(x-2)(x+7)\)
\({\small (3)}~(x+3)(x-5)\)
\({\small (4)}~(a-1)(a-5)\)
\({\small (5)}~(x-2)(x+6)\)
\({\small (6)}~(x+6)(x-7)\)

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【解答】
\(\begin{split}{\small (1)}~(x+3)^2\end{split}\)
\(\begin{split}{\small (2)}~(a-5)^2\end{split}\)
\(\begin{split}{\small (3)}~(x-7)^2\end{split}\)
\(\begin{split}{\small (4)}~(x+9)(x-9)\end{split}\)

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\(\begin{split}{\small (5)}~\left(x+\frac{\,1\,}{\,2\,}\right)\left(x-\frac{\,1\,}{\,2\,}\right)\end{split}\)

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\(\begin{split}{\small (6)}~(3+y)(3-y)\end{split}\)

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【解答】
\({\small (1)}~3(x-2)(x+1)\)
\({\small (2)}~2a(x+3)(x-3)\)
\({\small (3)}~2(a+5)^2\)
\({\small (4)}~(3x+1)^2\)
\({\small (5)}~(4x-3y)^2\)
\({\small (6)}~(3a+4b)(3a-4b)\)

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【解答】
\({\small (1)}~(x+y)(a-b)\)
\({\small (2)}~(x-8)(x+9)\)
\({\small (3)}~(x+5)(x-11)\)

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【解答】
\({\small (1)}~9604\)　　\({\small (2)}~2491\)
\({\small (3)}~1000\)　　\({\small (4)}~330\)

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【解答】
\({\small (1)}~-10\)　　\({\small (2)}~200\)
\({\small (3)}~36\)　　\({\small (4)}~10000\)

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【解答】
\({\small (1)}\)[証明] 連続する３つの整数を整数 \(n\) を使って、

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\(~~~n~,~n+1~,~n+2\)

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と表される

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このとき、真ん中の数の２乗から小さい方の数と大きい方の数の積を引いたものは、

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\(~~~~~~(n+1)^2-n\times (n+2)\)

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これを展開すると、

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\(\begin{split}~~=~&(n^2+2n+1)-(n^2+2n)\\[2pt]~~=~&n^2+2n+1-n^2-2n\\[2pt]~~=~&1\end{split}\)

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したがって、連続する３つの整数では、真ん中の数の２乗から小さい方の数と大きい方の数の積を引くと \(1\) となる [終]

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【別解】

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[証明] 連続する３つの整数を整数 \(n\) を使って、

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\(~~~n-1~,~n~,~n+1\)

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と表される

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このとき、真ん中の数の２乗から小さい方の数と大きい方の数の積を引いたものは、

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\(\begin{split}&n^2-(n-1)\times (n+1)\\[2pt]~~=~&n^2-(n-1)(n+1)\end{split}\)

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これを展開すると、

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\(\begin{split}~~=~&n^2-(n^2-1)\\[2pt]~~=~&n^2-n^2+1\\[2pt]~~=~&1\end{split}\)

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したがって、連続する３つの整数では、真ん中の数の２乗から小さい方の数と大きい方の数の積を引くと \(1\) となる [終]

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\({\small (2)}\)[証明] 連続する２つの奇数を整数 \(n\) を使って、

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\(~~~2n-1~,~2n+1\)

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と表される

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このとき、大きい方の数の２乗から小さい方の数の２乗を引いたものは、

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\(~~~~~~(2n+1)^2-(2n-1)^2\)

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式を展開すると、

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\(\begin{split}~~=~&(4n^2+4n+1)-(4n^2-4n+1)\\[2pt]~~=~&4n^2+4n+1-4n^2+4n-1\\[2pt]~~=~&8n\end{split}\)

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\(n\) は整数であるから、\(8n\) は \(8\) の倍数である

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したがって、連続する２つの奇数では、大きい方の数の２乗から小さい方の数の２乗を引くと \(8\) の倍数となる [終]

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\({\small (3)}\)[証明] 連続する２つの偶数を整数 \(n\) を使って、

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\(~~~2n~,~2n+2\)

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と表される

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このとき、これらの積に \(1\) を加えたものは、

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\(~~~~~~2n(2n+2)+1\)

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式を展開すると、

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\(\begin{split}~~=~&4n^2+4n+1\end{split}\)

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\(4n^2=(2n)^2\) として因数分解すると、

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\(\begin{split}~~=~&(2n)^2+2\times 2\times 1\times n+1^2\\[2pt]~~=~&(2n+1)^2\end{split}\)

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\(2n+1\) は、\(2n\) と \(2n+2\) の間の奇数である
したがって、連続する２つの偶数の積に \(1\) を加えると、２つの偶数の間の奇数の２乗となる [終]

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【解答】[証明] 内側の土地の縦の長さを \(x~{\rm m}\) 、横の長さを \(y~{\rm m}\) とすると、

全体の縦の長さが、\(x+a+a=x+2a~[\,{\rm m}\,]\)

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横の長さが、\(y+a+a=y+2a~[\,{\rm m}\,]\)

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となるので、全体の面積は、

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\(\begin{split}&(x+2a)(y+2a)
\\[2pt]~~=~&x{\, \small \times \,} y+x{\, \small \times \,} 2a+2a{\, \small \times \,} y+2a{\, \small \times \,} 2a\\[2pt]~~=~&xy+2ax+2ay+4a^2~[\,{\rm m^2}\,]\end{split}\)

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また、内側の面積は、\(x{\, \small \times \,} y=xy~[\,{\rm m^2}\,]\)

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である

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よって、
道の面積 \(S~{\rm m}^2\) は全体の面積ー内側の土地の面積より、

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\(\begin{eqnarray}~~~S&=&(xy+2ax+2ay+4a^2)-xy\\[2pt]~~~&=&(xy-xy)+2ax+2ay+4a^2\\[2pt]~~~&=&2ax+2ay+4a^2\\[2pt]~~~&=&a{\, \small \times \,} 2x+a{\, \small \times \,} 2y +a{\, \small \times \,} 4a\\[2pt]~~~&=&a(2x+2y+4a)~[\,{\rm m^2}\,]\end{eqnarray}\)

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次に、道の真ん中を通る線の一周の長さ \(l~{\rm m}\) は、

縦の長さが、

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\(\begin{split}&x+\frac{\,a \,}{\,2 \,}+\frac{\,a \,}{\,2 \,}\\[3pt]~~=~&x+\frac{\,a+a \,}{\,2 \,}=x+\frac{\,2a \,}{\,2 \,}=x+a~[\,{\rm m}\,]\end{split}\)

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横の長さが、

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\(\begin{split}&y+\frac{\,a \,}{\,2 \,}+\frac{\,a \,}{\,2 \,}\\[3pt]~~=~&y+\frac{\,a+a \,}{\,2 \,}=y+\frac{\,2a \,}{\,2 \,}=y+a~[\,{\rm m}\,]\end{split}\)

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一周の長さは、縦の長さ×２＋横の長さ×２より、

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\(\begin{eqnarray}~~~l&=&2(x+a)+2(y+a)\\[2pt]~~~&=&2x+2a+2y+2a\\[2pt]~~~&=&2x+2y+(2a+2a)\\[2pt]~~~&=&2x+2y+4a~[\,{\rm m}\,]\end{eqnarray}\)

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したがって、

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\(~~~~~S=a(2x+2y+4a)\)

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\(~~~~~l=2x+2y+4a\)

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であるので、\(S=al\)が成り立つ。[終]

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【解答】
\({\small (1)}~\)[証明] 整数\(n\) を用いて、\(a=n\) とすると、

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\(b\) は \(a\) の右隣りで \(+1\) されて、\(b=n+1\)
\(c\) は \(a\) の一段下で \(+5\) されて、\(c=n+5\)
\(d\) は \(a\) の一段下の右隣りで \(+6\) されて、\(d=n+6\)

よって、\(bc-ad\) は、
※ (　) を付けたまま代入する。

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\(\begin{split}&bc-ad\\[2pt]~~=~&(n+1)(n+5)-n(n+6)\end{split}\)

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それぞれを展開すると、

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\(\begin{split}~~=~&(n^2+6n+5)-(n^2+6n)\\[2pt]~~=~&n^2+6n+5-n^2-6n\\[2pt]~~=~&(n^2-n^2)+(6n-6n)+5\\[2pt]~~=~&5\end{split}\)

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したがって、\(bc-ad\) の値はつねに \(5\) となる [終]

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\({\small (2)}~\)[証明] 整数\(n\) を用いて、\(b=n\) とすると、

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\(a\) は \(b\) の一段上で \(-7\) されて、\(a=n-7\)
\(c\) は \(b\) の一段下で \(+7\) されて、\(c=n+7\)

よって、\(b^2-ac\) は、
※ (　) を付けたまま代入する。

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\(\begin{split}&b^2-ac\\[2pt]~~=~&n^2-(n-7)(n+7)\end{split}\)

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展開すると、

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\(\begin{split}~~=~&n^2-(n^2-49)\\[2pt]~~=~&n^2-n^2+49\\[2pt]~~=~&49\end{split}\)

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したがって、\(b^2-ac\) の値はつねに \(49\) となる [終]

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