4章 図形の性質の調べ方

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学校図書中2 1章 式の計算
学校図書中2 2章 連立方程式
学校図書中2 3章 1次関数
学校図書中2 4章 図形の性質の調べ方
学校図書中2 5章 三角形・四角形
学校図書中2 6章 確率
学校図書中2 7章 データの分析
4章 図形の性質の調べ方
1 いろいろな角と多角形
\angle a+\angle b=180^\circ
直線 m について、
\angle a+\angle d=180^\circ
よって、
\angle b=\angle d
{\small (2)}~\angle x=120^\circ~,~\angle y=40^\circ
\angle c+\angle d=180^\circ
また、\angle a+\angle d=180^\circ より、
\angle a=\angle c
錯角が等しいので、l\,//\,m
\angle d=\angle b~,~\angle e=\angle c
また、\angle a+\angle d+\angle e=180^\circ より、
\angle a+\angle b+\angle c=180^\circ
よって、三角形の内角の和が 180^\circ である
[証明] \triangle {\rm ABC} の内角の和より、
\angle a+\angle b+\angle {\rm ACB}=180^\circ
また、\angle{\rm ACB}+\angle{\rm ACD}=180^\circ より、
\angle a+\angle b=\angle {\rm ACD} [終]
[証明] 内角の和が 180^\circ より、
\angle a+\angle b+\angle c=180^\circ
また、外角の条件より、
\angle d=\angle b+\angle c
\angle e=\angle a+\angle c
\angle f=\angle a+\angle b
両辺の和より、
\begin{eqnarray}~~~\angle d+\angle e+\angle f&=&2(\angle a+\angle b+\angle c) \\[2pt]~~~&=&2{\, \small \times \,}180^\circ \\[2pt]~~~&=&360^\circ\end{eqnarray}
[終]

図より、
\angle f+\angle g+\angle h=180^\circ
\angle c+\angle e+\angle h=180^\circ
よって、
\angle c+\angle e=\angle f+\angle g
また、
\begin{eqnarray}~~~\angle a+\angle g+\angle f+\angle b+\angle d&=&180^\circ
\\[2pt]~~~\angle a+\angle b+\angle d+(\angle f+\angle g)&=&180^\circ
\\[2pt]~~~\angle a+\angle b+\angle d+(\angle c+\angle e)&=&180^\circ
\end{eqnarray}
これより、
\angle a+\angle b+\angle c+\angle d+\angle e=180^\circ
確かめよう
{\small (2)}~対頂角 \angle f、同位角 \angle d、錯角 \angle b
{\small (2)}~\angle x=130^\circ~,~\angle y=65^\circ
2 図形の合同
{\rm AB=DE~,~BC=EF~,~AC=DF}
{\rm \angle A=\angle D~,~\angle B=\angle E~,~\angle C=\angle F}
{\rm CD=GH~,~AD=EH}
{\small (2)}~{\rm \angle A=\angle E~,~\angle B=\angle F~,~}
{\rm \angle C=\angle G~,~\angle D=\angle H}
{\small (3)}~等しい
{\small (4)}~等しい
\angle{\rm D}=120^\circ~,~\angle{\rm G}=80^\circ
3組の辺がそれぞれ等しい
{\small (2)}~\triangle {\rm ACO}\equiv\triangle {\rm BDO}
2組の辺のその間の角がそれぞれ等しい
{\small (3)}~\triangle {\rm ABO}\equiv\triangle {\rm CDO}
1組の辺とこの両端の角がそれぞれ等しい
結論|\triangle {\rm ACO}\equiv\triangle {\rm BDO}
{\small (3)}~仮定|{\rm AB\,//\,CD}
結論|\triangle {\rm ABO}\equiv\triangle {\rm CDO}
結論|{\rm AB=DE}
{\small (2)}~仮定|\angle{\rm A}=90^\circ
結論|\angle{\rm B}+\angle{\rm C}=90^\circ
{\small (3)}~仮定|a~,~b が奇数
結論|a+b は偶数
結論|{\rm \angle BAC=\angle CDB}
{\small (2)}~\triangle {\rm ABC}\equiv\triangle {\rm DCB}
{\small (3)}~[証明] \triangle {\rm ABC} と \triangle {\rm DCB} において、
仮定より、
{\rm AB=DC}~~~\cdots{\large ①}
{\rm \angle ABC=\angle DCB}~~~\cdots{\large ②}
共通の辺より、
{\rm BC=CB}~~~\cdots{\large ③}
①、②、③より、
2組の辺のその間の角がそれぞれ等しいから
\triangle {\rm ABC}\equiv\triangle {\rm DCB}
合同な図形の対応する角の大きさは等しいから
{\rm \angle BAC=\angle CDB} [終]
{\small (4)}~{\rm AC=DB~,~\angle ACB=\angle DBC}
仮定より、
{\rm AO=DO}~~~\cdots{\large ①}
{\rm BO=CO}~~~\cdots{\large ②}
対頂角が等しいので、
{\rm \angle AOB=\angle DOC}~~~\cdots{\large ③}
①、②、③より、
2組の辺のその間の角がそれぞれ等しいから
\triangle {\rm AOB}\equiv\triangle {\rm DOC}
合同な図形の対応する角の大きさは等しいから
{\rm \angle ABO=\angle DCO}
錯角が等しいから、
{\rm AB\,//\,CD} [終]
① 点 {\rm O} を中心とする円と {\rm OX~,~OY} との交点を {\rm Q~,~P} とする
② 同じ半径で点 {\rm A} を中心とする円を描き、直線 {\rm AB} との交点を {\rm C} とする
③ 線分 {\rm PQ} の長さをコンパスではかる
④ 点 {\rm C} を中心として、半径 {\rm PQ} の円を描き、②の円との交点を {\rm D} とする
⑤ {\rm AD} を引くと、\angle{\rm XOY}=\angle{\rm DAB} となる
{\small (2)}~
( Ⅰ )
仮定|{\rm OP=AC~,~OQ=AD~,~PQ=CD}
結論|\angle{\rm XOY}=\angle{\rm DAB}
( Ⅱ ) \triangle {\rm OPQ}\equiv\triangle {\rm ACD}
( Ⅲ ) [証明] \triangle {\rm OPQ} と \triangle {\rm ACD} において、
仮定より、
{\rm OP=AC}~~~\cdots{\large ①}
{\rm OQ=AD}~~~\cdots{\large ②}
{\rm PQ=CD}~~~\cdots{\large ③}
①、②、③より、
3組の辺がそれぞれ等しいから
\triangle {\rm OPQ}\equiv\triangle {\rm ACD}
合同な図形の対応する角の大きさは等しいから
{\rm \angle QOP=\angle DAC}
よって、
{\rm \angle XOY=\angle DAB} [終]
2直線 l~,~m は平行
正しい
{\small (2)}~\triangle {\rm ABC} と \triangle {\rm DEF} の面積が等しいならば、\triangle {\rm ABC}\equiv\triangle {\rm DEF}
正しくない

{\small (3)}~\triangle {\rm ABC} で、
\angle{\rm B}+\angle{\rm C}=90^\circ ならば、\angle{\rm A}=90^\circ
正しい
{\small (4)}~ab>0 ならば、a>0~,~b>0
正しくない
a=-1~,~b=-2 のときなど
確かめよう
{\small (2)}~{\rm AB=DE} または、\angle{\rm C}=\angle{\rm F}
{\small (3)}~{\rm AB=DE}

{\small (2)}~仮定|{\rm AB\,//\,CD~,~AB=DC}
結論|{\rm AO=DO}
{\small (3)}~
① 仮定
② 平行線の錯角が等しい
③ 平行線の錯角が等しい
④ 1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい
⑤ 合同な図形の対応する辺は等しい
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