学校図書：中学校数学３

p.14 問1\(\begin{split}{\small (1)}~a^2+3a\end{split}\)　　\(\begin{split}{\small (2)}~-8x^2+20x\end{split}\)
\(\begin{split}{\small (3)}~-18a^2+6a\end{split}\)　　\(\begin{split}{\small (4)}~-2xy-4y^2\end{split}\)
\(\begin{split}{\small (5)}~2a^3+4a^2-6a\end{split}\)　　\(\begin{split}{\small (6)}~4x^2-6x\end{split}\)

p.15 問2\(\begin{split}{\small (1)}~10x+7\end{split}\)　　\(\begin{split}{\small (2)}~4a-b\end{split}\)
\(\begin{split}{\small (3)}~6x-9y\end{split}\)　　\(\begin{split}{\small (4)}~8b-4\end{split}\)

p.16 問1\(\begin{split}&(a+b)(c+d)
\\[2pt]~~=~&N(c+d)
\\[2pt]~~=~&Nc+Nd
\\[2pt]~~=~&(a+b)c+(a+b)d
\\[2pt]~~=~&ac+bc+ad+bd
\\[2pt]~~=~&ac+ad+bc+bd
\end{split}\)

p.17 問2\(\begin{split}{\small (1)}~ab+5a+3b+15\end{split}\)
\(\begin{split}{\small (2)}~xy+6x-2y-12\end{split}\)
\(\begin{split}{\small (3)}~ac-ad+bc-bd\end{split}\)
\(\begin{split}{\small (4)}~xy-bx-ay+ab\end{split}\)

p.17 問3\(\begin{split}{\small (1)}~x^2+7x+6\end{split}\)
\(\begin{split}{\small (2)}~x^2-5x-14\end{split}\)
\(\begin{split}{\small (3)}~x^2-36\end{split}\)
\(\begin{split}{\small (4)}~3x^2-16x+5\end{split}\)
\(\begin{split}{\small (5)}~-2a^2+13a-20\end{split}\)
\(\begin{split}{\small (6)}~5x^2+9xy-2y^2\end{split}\)

p.17 問4\(\begin{split}{\small (1)}~ax-ay+2a-bx+by-2b\end{split}\)
\(\begin{split}{\small (2)}~x^2-y^2+x-y\end{split}\)

p.18 問1\(\begin{split}{\small (1)}~x^2+3x+2\end{split}\)　　\(\begin{split}{\small (2)}~a^2-2a-15\end{split}\)
\(\begin{split}{\small (3)}~a^2-9a+14\end{split}\)　　\(\begin{split}{\small (4)}~x^2+2x-48\end{split}\)
\(\begin{split}{\small (5)}~x^2-9\end{split}\)　　\(\begin{split}{\small (6)}~x^2+6x+9\end{split}\)

---

\(\begin{split}{\small (7)}~x^2+x+\frac{\,2\,}{\,9\,}\end{split}\)　　\(\begin{split}{\small (8)}~x^2+\frac{\,1\,}{\,6\,}x-\frac{\,1\,}{\,6\,}\end{split}\)

p.19 問2　\(a~,~a~,~2a\)

p.19 問3\(\begin{split}{\small (1)}~x^2+2x+1\end{split}\)　　\(\begin{split}{\small (2)}~y^2+14y+49\end{split}\)
\(\begin{split}{\small (3)}~x^2-4x+4\end{split}\)　　\(\begin{split}{\small (4)}~a^2-18a+81\end{split}\)

---

\(\begin{split}{\small (5)}~a^2+2ab+b^2\end{split}\)　　\(\begin{split}{\small (6)}~x^2-x+\frac{\,1\,}{\,4\,}\end{split}\)

p.20 問4　\(a~,~-a\)

p.20 問5\(\begin{split}{\small (1)}~x^2-4\end{split}\)　　\(\begin{split}{\small (2)}~x^2-64\end{split}\)
\(\begin{split}{\small (3)}~9-y^2\end{split}\)　　\(\begin{split}{\small (4)}~a^2-b^2\end{split}\)

---

\(\begin{split}{\small (5)}~x^2-25\end{split}\)　　\(\begin{split}{\small (6)}~x^2-\frac{\,1\,}{\,9\,}\end{split}\)

p.21 問6\(\begin{split}{\small (1)}~9a^2+21a+10\end{split}\)
\(\begin{split}{\small (2)}~25a^2+10a-24\end{split}\)
\(\begin{split}{\small (3)}~4x^2+20x+25\end{split}\)
\(\begin{split}{\small (4)}~16x^2-8xy+y^2\end{split}\)
\(\begin{split}{\small (5)}~9x^2-1\end{split}\)
\(\begin{split}{\small (6)}~36a^2-49b^2\end{split}\)

p.21 問7\(\begin{split}&(5x-3)^2
\\[2pt]~~=~&(5x)^2-2{\, \small \times \,}3{\, \small \times \,}(5x)+3^2
\\[2pt]~~=~&25x^2-30x+9
\end{split}\)

p.22 問8\(\begin{split}{\small (1)}~x^2+2xy+y^2+5x+5y+4\end{split}\)
\(\begin{split}{\small (2)}~x^2-2xy+y^2-9x+9y+18\end{split}\)
\(\begin{split}{\small (3)}~a^2-2ab+b^2+6a-6b+9\end{split}\)
\(\begin{split}{\small (4)}~a^2+2ab+b^2-49\end{split}\)

p.22 問9\(\begin{split}{\small (1)}~2x^2+6x+5\end{split}\)　　\(\begin{split}{\small (2)}~8a+20\end{split}\)
\(\begin{split}{\small (3)}~-y-14\end{split}\)　　\(\begin{split}{\small (4)}~-2x^2+1\end{split}\)

p.23 確かめよう1\(\begin{split}{\small (1)}~2x^2+5xy\end{split}\)　　\(\begin{split}{\small (2)}~6x^2-8xy\end{split}\)
\(\begin{split}{\small (3)}~6a-7\end{split}\)　　\(\begin{split}{\small (4)}~4a+3\end{split}\)

p.23 確かめよう 2\(\begin{split}{\small (1)}~xy+5x+2y+10\end{split}\)
\(\begin{split}{\small (2)}~2x^2-7x-4\end{split}\)

p.23 確かめよう 3\(\begin{split}{\small (1)}~a^2+14a+45\end{split}\)　　\(\begin{split}{\small (2)}~x^2-4x-21\end{split}\)
\(\begin{split}{\small (3)}~y^2-9y+8\end{split}\)　　\(\begin{split}{\small (4)}~a^2+16a+64\end{split}\)
\(\begin{split}{\small (5)}~x^2-6x+9\end{split}\)　　\(\begin{split}{\small (6)}~y^2-16\end{split}\)

p.23 確かめよう 4　\(2x+5\)

p.26 問1　ア、エ

p.27 問2\(\begin{split}{\small (1)}~x(a+b)\end{split}\)　　\(\begin{split}{\small (2)}~a(x-1)\end{split}\)
\(\begin{split}{\small (3)}~p(x^2-5x+3)\end{split}\)

p.27 問3\(\begin{split}{\small (1)}~4a(x+2y)\end{split}\)　　\(\begin{split}{\small (2)}~x(3x+7)\end{split}\)
\(\begin{split}{\small (3)}~x(x-1)\end{split}\)　　\(\begin{split}{\small (4)}~xy(x+y)\end{split}\)
\(\begin{split}{\small (5)}~a(a+6b-8)\end{split}\)　　\(\begin{split}{\small (6)}~3x(3x-y+2)\end{split}\)

p.28 問1\(\begin{split}{\small (1)}~(x+2)(x+3)\end{split}\)　　\(\begin{split}{\small (2)}~(x+1)(x+8)\end{split}\)
\(\begin{split}{\small (3)}~(x-2)(x-5)\end{split}\)　　\(\begin{split}{\small (4)}~(x-1)(x-4)\end{split}\)

p.28 問2\(\begin{split}{\small (1)}~(x+4)(x-3)\end{split}\)　　\(\begin{split}{\small (2)}~(x+3)(x-1)\end{split}\)
\(\begin{split}{\small (3)}~(x+3)(x-5)\end{split}\)　　\(\begin{split}{\small (4)}~(x+1)(x-5)\end{split}\)

p.29 問3\(\begin{split}{\small (1)}~(x+1)^2\end{split}\)　　\(\begin{split}{\small (2)}~(x-1)^2\end{split}\)
\(\begin{split}{\small (3)}~(x+2)^2\end{split}\)　　\(\begin{split}{\small (4)}~(x-4)^2\end{split}\)
\(\begin{split}{\small (5)}~(a+6)^2\end{split}\)　　\(\begin{split}{\small (6)}~(y-7)^2\end{split}\)

p.29 問4\(\begin{split}{\small (1)}~(x+5)(x-5)\end{split}\)　　\(\begin{split}{\small (2)}~(x+6)(x-6)\end{split}\)
\(\begin{split}{\small (3)}~(1+y)(1-y)\end{split}\)　　\(\begin{split}{\small (4)}~(a+b)(a-b)\end{split}\)

p.29 問5\(\begin{split}{\small (1)}~(x+2)(x+6)\end{split}\)
\(\begin{split}{\small (2)}~(x-2)^2\end{split}\)
\(\begin{split}{\small (3)}~(x+4)(x-5)\end{split}\)
\(\begin{split}{\small (4)}~(x+10)(x-10)\end{split}\)
\(\begin{split}{\small (5)}~(x+9)^2\end{split}\)
\(\begin{split}{\small (6)}~(x+7)(x-4)\end{split}\)

p.30 問6\(\begin{split}{\small (1)}~(2x+1)^2\end{split}\)
\(\begin{split}{\small (2)}~(3x-2)^2\end{split}\)
\(\begin{split}{\small (3)}~(x+y)^2\end{split}\)
\(\begin{split}{\small (4)}~(x-3y)^2\end{split}\)
\(\begin{split}{\small (5)}~(5b+3a)(5b-3a)\end{split}\)

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\(\begin{split}{\small (6)}~\left(x+\frac{\,y\,}{\,2\,}\right)\left(x-\frac{\,y\,}{\,2\,}\right)\end{split}\)

p.30 問7\(\begin{split}{\small (1)}~a(x+1)(x-2)\end{split}\)
\(\begin{split}{\small (2)}~x(y+1)(y-1)\end{split}\)
\(\begin{split}{\small (3)}~2(x+4)^2\end{split}\)
\(\begin{split}{\small (4)}~-3(x-2y)^2\end{split}\)

p.31 問8\(\begin{split}{\small (1)}~(x-1)(x-2)\end{split}\)
\(\begin{split}{\small (2)}~(a+b)(x+y)\end{split}\)
\(\begin{split}{\small (3)}~(x+5)(x+15)\end{split}\)
\(\begin{split}{\small (4)}~(x+y+9)(x+y-9)\end{split}\)

p.31 問9\(\begin{split}{\small (1)}~(x+1)(y-1)\end{split}\)　　\(\begin{split}{\small (2)}~(a+3)(x-1)\end{split}\)

p.32 確かめよう 1\(\begin{split}{\small (1)}~a(7x+2y-9)\end{split}\)　　\(\begin{split}{\small (2)}~4x(3x-2y)\end{split}\)

p.32 確かめよう 2\(\begin{split}{\small (1)}~(x+1)(x+6)\end{split}\)　　\(\begin{split}{\small (2)}~(x+3)(x-4)\end{split}\)
\(\begin{split}{\small (3)}~(x+5)^2\end{split}\)　　\(\begin{split}{\small (4)}~(x-8)^2\end{split}\)
\(\begin{split}{\small (5)}~(x+9)(x-9)\end{split}\)　　\(\begin{split}{\small (6)}~(3+a)(3-a)\end{split}\)

p.32 確かめよう 3\(\begin{split}{\small (1)}~(x-2y)^2\end{split}\)　　\(\begin{split}{\small (2)}~(7+3a)(7-3a)\end{split}\)
\(\begin{split}{\small (3)}~a(x+6)(x-2)\end{split}\)　　\(\begin{split}{\small (4)}~(a+b)(x-y)\end{split}\)

p.35 問1\(n\) を整数として、中央の数を \(n\) とすると連続する３つの整数は \(n-1~,~n~,~n+1\) と表される。
中央の数の２乗から１をひいた差は、
　\(n^2-1\)
残りの２数の積は、
　\((n-1)(n+1)=n^2-1\)
したがって、連続する３つの整数では、中央の数の２乗から１をひいた差は、残りの２数の積に等しくなる。

p.36 問2予想は、\(8\) の倍数となる

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[証明] \(n\) を整数として、連続する２つの奇数は \(2n+1~,~2n+3\) と表される。
大きい方の数の２乗から小さい方の数の２乗をひいた差は、
\(\begin{split}&(2n+3)^2-(2n+1)^2
\\[2pt]~~=~&(4n^2+12n+9)-(4n^2+4n+1)
\\[2pt]~~=~&8n+8
\\[2pt]~~=~&8(n+1)
\end{split}\)
ここで、\(n+1\) は整数だから、\(8(n+1)\) は \(8\) の倍数である。
したがって、連続する２つの奇数では、大きい方の数の２乗から小さい方の数の２乗をひいた差は、\(8\) の倍数となる。[終]

p.36 問3予想は、\(4\) の倍数となる

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[証明] \(n\) を整数として、連続する２つの偶数は \(2n~,~2n+2\) と表される。
大きい方の数の２乗から小さい方の数の２乗をひいた差は、
\(\begin{split}&(2n+2)^2-(2n)^2
\\[2pt]~~=~&(4n^2+8n+4)-(4n^2)
\\[2pt]~~=~&8n+4
\\[2pt]~~=~&4(2n+1)
\end{split}\)
ここで、\(2n+1\) は整数だから、\(4(2n+1)\) は \(4\) の倍数である。
したがって、連続する２つの偶数では、大きい方の数の２乗から小さい方の数の２乗をひいた差は、\(4\) の倍数となる。[終]

p.36 問4① \(x(x+4)=x^2+4x\)
② \((x+1)(x+3)=x^2+4x+3\)
③ \((x+2)(x+2)=x^2+4x+4\)

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展開した式より、③の面積が一番大きくなる。

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また、②ー①より、
　\((x^2+4x+3)-(x^2+4x)=3\)
これより、差が \(3\) となり一定。

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また、③ー②より、
　\((x^2+4x+4)-(x^2+4x+3)=1\)
これより、差が \(1\) となり一定。

p.36 問5\(\begin{split}{\small (1)}~130\end{split}\)　　\(\begin{split}{\small (2)}~80\end{split}\)

p.36 問6\(\begin{split}{\small (1)}~300\end{split}\)　　\(\begin{split}{\small (2)}~9991\end{split}\)
\(\begin{split}{\small (3)}~10201\end{split}\)

p.38 問7\(\begin{split}{\small (1)}~l=4h+4a\end{split}\)

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\(\begin{split}{\small (2)}~\end{split}\)道と池全体の面積は、一辺が \(h+2a\) より、
\(\begin{split}&(h+2a)(h+2a)
\\[2pt]~~=~&h^2+4ah+4a^2
\end{split}\)
また、池の面積は、
\(\begin{split}~~~~~~h{\, \small \times \,} h=h^2\end{split}\)
よって、道の面積 \(S\) は、
\(\begin{eqnarray}~S&=&(h^2+4ah+4a^2)-h^2
\\[2pt]~~~&=&4ah+4a^2~~~\cdots{\Large ①}
\end{eqnarray}\)
次に、道の一辺の長さは、
\(\begin{split}~~~~~~h+\frac{\,1\,}{\,2\,}a+\frac{\,1\,}{\,2\,}a=h+a\end{split}\)
よって、道のまん中を通る線の長さ \(l\) は、
\(\begin{eqnarray}~l&=&(h+a){\, \small \times \,} 4
\\[2pt]~~~&=&4h+4a
\end{eqnarray}\)
これより、
\(\begin{eqnarray}~al&=&a(4h+4a)
\\[2pt]~~~&=&4ah+4a^2~~~\cdots{\Large ②}
\end{eqnarray}\)
したがって、①と②より、
\(\begin{split}~~~~~~S=al\end{split}\)

p.38 確かめよう 1\(n\) を整数とすると、連続する２つの整数は \(n~,~n+1\) と表される。
大きい方の数の２乗から小さい方の数の２乗をひいた差は、
\(\begin{split}&(n+1)^2-n^2
\\[2pt]~~=~&n^2+2n+1-n^2
\\[2pt]~~=~&2n+1
\end{split}\)
また、はじめの２数の和は、
　\(n+(n+1)=2n+1\)
したがって、連続する２つの整数では、大きい方の数の２乗から小さい方の数の２乗をひいた差は、はじめの２数の和に等しい。

p.38 確かめよう 2\(\begin{split}{\small (1)}~300\end{split}\)　　\(\begin{split}{\small (2)}~190\end{split}\)

p.38 確かめよう 3\(\begin{split}{\small (1)}~4000\end{split}\)　　\(\begin{split}{\small (2)}~24.96\end{split}\)

p.38 確かめよう 4　\(100-20a~{\rm cm}^2\) だけ広い