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6章 円
6章 円
教科書に完全対応の問題集|教科書ぴったりトレーニング
教科書に対応した数学の問題集|教科書ぴったりトレーニングの紹介 こんにちは、みなさん!今回は中学生の...
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数研出版中3 1章 式の計算
数研出版中3 2章 平方根
数研出版中3 3章 2次方程式
数研出版中3 4章 関数y=ax²
数研出版中3 5章 相似
数研出版中3 6章 円
数研出版中3 7章 三平方の定理
数研出版中3 8章 標本調査
6章 円
1 円
1 円周角の定理
p.173 問1[証明] 円の半径より、\({\rm OB=OP}\) となるので、\(\triangle {\rm OBP}\) は二等辺三角形である
底角が等しいので、
\(\angle{\rm OBP}=\angle{\rm OPB}~~~\cdots{\large ①}\)
\(\triangle {\rm OBP}\) の外角は他の2つの内角の和に等しいので、
\(\angle{\rm AOP}=\angle{\rm OBP}+\angle{\rm OPB}\)①より、
\(\angle{\rm AOP}=2\angle{\rm OPB}\)
したがって、
\(\angle{\rm APB}={\large \frac{\,1\,}{\,2\,}}\angle{\rm AOB}\)
[終]
底角が等しいので、
\(\angle{\rm OBP}=\angle{\rm OPB}~~~\cdots{\large ①}\)
\(\triangle {\rm OBP}\) の外角は他の2つの内角の和に等しいので、
\(\angle{\rm AOP}=\angle{\rm OBP}+\angle{\rm OPB}\)①より、
\(\angle{\rm AOP}=2\angle{\rm OPB}\)
したがって、
\(\angle{\rm APB}={\large \frac{\,1\,}{\,2\,}}\angle{\rm AOB}\)
[終]
■ 同じタイプの例題解説
» 円周角の定理
» 円周角の定理
p.173 問2\(\begin{split}{\small (1)}~35^\circ\end{split}\) \(\begin{split}{\small (2)}~200^\circ\end{split}\) \(\begin{split}{\small (3)}~34^\circ\end{split}\)
■ 同じタイプの例題解説
» 円周角の定理
» 円周角の定理
p.174 問3\(\begin{split}{\small (1)}~x=90^\circ~,~y=65^\circ\end{split}\)
\(\begin{split}{\small (2)}~x=90^\circ~,~y=45^\circ\end{split}\)
\(\begin{split}{\small (2)}~x=90^\circ~,~y=45^\circ\end{split}\)
■ 同じタイプの例題解説
» 円周角の定理
» 円周角の定理
p.174 問4\(\begin{split}{\small (1)}~x=45^\circ~,~y=100^\circ\end{split}\)
\(\begin{split}{\small (2)}~x=30^\circ~,~y=78^\circ\end{split}\)
\(\begin{split}{\small (3)}~x=110^\circ~,~y=55^\circ\end{split}\)
\(\begin{split}{\small (2)}~x=30^\circ~,~y=78^\circ\end{split}\)
\(\begin{split}{\small (3)}~x=110^\circ~,~y=55^\circ\end{split}\)
■ 同じタイプの例題解説
» 円周角の定理
» 円周角の定理
p.175 問5\(\begin{split}~~~x=45^\circ\end{split}\)
■ 同じタイプの例題解説
» 弧の長さと円周角
» 弧の長さと円周角
2 円周角の定理の逆
p.177 問1 ア. \(\angle{\rm PBQ}\) イ. \(<\)
■ 同じタイプの例題解説
» 円周角の定理の逆
» 円周角の定理の逆
p.179 問2 ア、ウ
■ 同じタイプの例題解説
» 円周角の定理の逆
» 円周角の定理の逆
p.179 問3\(\begin{split}{\small (1)}~30^\circ\end{split}\) \(\begin{split}{\small (2)}~105^\circ\end{split}\)
■ 同じタイプの例題解説
» 円周角の定理の逆
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3 円の性質の利用
p.180 問1[証明] \(\triangle {\rm PAO}\) と \(\triangle {\rm PBO}\) において、
円の半径で等しいから
\({\rm OA=OB}~~~\cdots{\large ①}\)
円の接線は接点を通る半径に垂直であるから、
\(\angle{\rm OAP}=\angle{\rm OBP}=90^\circ~~~\cdots{\large ②}\)
共通の辺より、
\({\rm PO=PO}~~~\cdots{\large ③}\)
①、②、③より、直角三角形の斜辺と他の1辺がそれぞれ等しいから、
\(\triangle {\rm PAO}\equiv\triangle {\rm PBO}\)
合同な図形の対応する辺は等しいから
\({\rm PA=PB}\)
[終]
円の半径で等しいから
\({\rm OA=OB}~~~\cdots{\large ①}\)
円の接線は接点を通る半径に垂直であるから、
\(\angle{\rm OAP}=\angle{\rm OBP}=90^\circ~~~\cdots{\large ②}\)
共通の辺より、
\({\rm PO=PO}~~~\cdots{\large ③}\)
①、②、③より、直角三角形の斜辺と他の1辺がそれぞれ等しいから、
\(\triangle {\rm PAO}\equiv\triangle {\rm PBO}\)
合同な図形の対応する辺は等しいから
\({\rm PA=PB}\)
[終]
■ 同じタイプの例題解説
» 円の接線の長さと作図
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p.182 問2\(\begin{split}~~~\angle{\rm PAB}=65^\circ\end{split}\)
■ 同じタイプの例題解説
» 円の接線の長さと作図
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p.182 問3\(\begin{split}~~~6~{\rm cm}\end{split}\)
■ 同じタイプの例題解説
» 円周角の定理と相似
» 円周角の定理と相似
p.182 問4[証明] \(\triangle {\rm ABC}\) と \(\triangle {\rm CBD}\) において、
直径に対する円周角より、
\(\angle{\rm BAC}=90^\circ\)
円の接線は接点を通る半径に垂直であるから、
\(\angle{\rm BCD}=90^\circ\)
よって、
\(\angle{\rm BAC}=\angle{\rm BCD}=90^\circ~~~\cdots{\large ①}\)
また、共通の角より、
\(\angle{\rm ABC}=\angle{\rm CBD}~~~\cdots{\large ②}\)
①、②より、2組の角がそれぞれ等しいので、
\(\triangle {\rm ABC}\,\,\unicode{x223D}\,\,\triangle {\rm CBD}\)
[終]
直径に対する円周角より、
\(\angle{\rm BAC}=90^\circ\)
円の接線は接点を通る半径に垂直であるから、
\(\angle{\rm BCD}=90^\circ\)
よって、
\(\angle{\rm BAC}=\angle{\rm BCD}=90^\circ~~~\cdots{\large ①}\)
また、共通の角より、
\(\angle{\rm ABC}=\angle{\rm CBD}~~~\cdots{\large ②}\)
①、②より、2組の角がそれぞれ等しいので、
\(\triangle {\rm ABC}\,\,\unicode{x223D}\,\,\triangle {\rm CBD}\)
[終]
■ 同じタイプの例題解説
» 円周角の定理と相似
» 円周角の定理と相似
p.183 問5[証明] \(\triangle {\rm PAD}\) と \(\triangle {\rm PCB}\) において、
\(\overset{\frown}{{\rm BD}}\) の円周角より、
\(\angle{\rm PAD}=\angle{\rm PCB}~~~\cdots{\large ①}\)
共通の角より、
\(\angle{\rm APD}=\angle{\rm CPB}~~~\cdots{\large ②}\)
①、②より、2組の角がそれぞれ等しいので、
\(\triangle {\rm PAD}\,\,\unicode{x223D}\,\,\triangle {\rm PCB}\)
相似な図形の対応する辺の比が等しいので、
\({\rm PA~:~PC=PD~:~PB}\)
[終]
\(\overset{\frown}{{\rm BD}}\) の円周角より、
\(\angle{\rm PAD}=\angle{\rm PCB}~~~\cdots{\large ①}\)
共通の角より、
\(\angle{\rm APD}=\angle{\rm CPB}~~~\cdots{\large ②}\)
①、②より、2組の角がそれぞれ等しいので、
\(\triangle {\rm PAD}\,\,\unicode{x223D}\,\,\triangle {\rm PCB}\)
相似な図形の対応する辺の比が等しいので、
\({\rm PA~:~PC=PD~:~PB}\)
[終]
■ 同じタイプの例題解説
» 円周角の定理と相似
» 円周角の定理と相似
p.183 問6[証明] \(\triangle {\rm ABQ}\) と \(\triangle {\rm APB}\) において、
\({\rm AB=AC}\) より、\(\overset{\frown}{{\rm AB}}=\overset{\frown}{{\rm AC}}\) となるので、
等しい弧の円周角は等しいから、
\(\angle{\rm ABQ}=\angle{\rm APB}~~~\cdots{\large ①}\)
共通の角より、
\(\angle{\rm QAB}=\angle{\rm BAP}~~~\cdots{\large ②}\)
①、②より、2組の角がそれぞれ等しいので、
\(\triangle {\rm ABQ}\,\,\unicode{x223D}\,\,\triangle {\rm APB}\)
[終]
\({\rm AB=AC}\) より、\(\overset{\frown}{{\rm AB}}=\overset{\frown}{{\rm AC}}\) となるので、
等しい弧の円周角は等しいから、
\(\angle{\rm ABQ}=\angle{\rm APB}~~~\cdots{\large ①}\)
共通の角より、
\(\angle{\rm QAB}=\angle{\rm BAP}~~~\cdots{\large ②}\)
①、②より、2組の角がそれぞれ等しいので、
\(\triangle {\rm ABQ}\,\,\unicode{x223D}\,\,\triangle {\rm APB}\)
[終]
■ 同じタイプの例題解説
» 円周角の定理と相似
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