数研出版：これからの数学３

p.131 問1四角形 \({\rm ABCD}\) は、四角形 \({\rm EFGH}\) の \({\large \frac{\,1\,}{\,2\,}}\) の縮図
四角形 \({\rm EFGH}\) は、四角形 \({\rm ABCD}\) の \(2\) 倍の拡大図
 
四角形 \({\rm ABCD}\) は、四角形 \({\rm IJKL}\) の \({\large \frac{\,1\,}{\,3\,}}\) の縮図
四角形 \({\rm IJKL}\) は、四角形 \({\rm ABCD}\) の \(3\) 倍の拡大図
 
四角形 \({\rm EFGH}\) は、四角形 \({\rm IJKL}\) の \({\large \frac{\,3\,}{\,2\,}}\) の縮図
四角形 \({\rm IJKL}\) は、四角形 \({\rm EFGH}\) の \({\large \frac{\,3\,}{\,2\,}}\) 倍の拡大図

p.132 問2$$~~~\triangle {\rm ABC}\,\,\unicode{x223D}\,\,\triangle {\rm DFE}~,~\triangle {\rm ABC}\,\,\unicode{x223D}\,\,\triangle {\rm HIG}$$

p.132 問3　いえない

p.133 問4$$~~~2:3$$

p.133 問5　合同

p.133 問6$$~~~4~{\rm cm}$$

p.134 問7$${\small (1)}~20~{\rm cm}$$$${\small (2)}~9~{\rm cm}$$$${\small (3)}~75^\circ$$

p.135 問8

p.137 問1① \({\rm B’C’}=2a\) の長さの線分 \({\rm B’C’}\) をかく。
② \(\angle{\rm B’}=\angle{\rm B}\) となるように半直線をかく。
③ この半直線上に、\({\rm A’B’}=2c\) となるような点 \({\rm A’}\) をとる。
④ \({\rm A’}\) と \({\rm C’}\) をむすんで、\(\triangle {\rm A’B’C’}\) をかく。

p.139 問2\(\triangle {\rm ABC}\,\,\unicode{x223D}\,\,\triangle {\rm MON}\)
３組の辺の比がそれぞれ等しい
 
\(\triangle {\rm DEF}\,\,\unicode{x223D}\,\,\triangle {\rm UST}\)
２組の角がそれぞれ等しい
 
\(\triangle {\rm GHI}\,\,\unicode{x223D}\,\,\triangle {\rm KJL}\)
２組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい

p.139 問3\({\small (1)}~\)\(\triangle {\rm ABC}\,\,\unicode{x223D}\,\,\triangle {\rm ADE}\)
２組の角がそれぞれ等しい
 
\({\small (2)}~\)\(\triangle {\rm PQO}\,\,\unicode{x223D}\,\,\triangle {\rm ROS}\)
２組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい
 
\({\small (3)}~\)\(\triangle {\rm ABC}\,\,\unicode{x223D}\,\,\triangle {\rm AED}\)
２組の角がそれぞれ等しい

p.140 問4[証明] \(\triangle {\rm DBA}\) と \(\triangle {\rm CDA}\) において、
仮定から、
　\(\angle{\rm ADB}=\angle{\rm CDA}~~~\cdots{\large ①}\)
また、
　\(\angle{\rm ABD}=90^\circ-\angle{\rm DAB}\)
　\(\angle{\rm CAD}=90^\circ-\angle{\rm DAB}\)
これより、
　\(\angle{\rm ABD}=\angle{\rm CAD}~~~\cdots{\large ②}\)
①、②より、２組の角がそれぞれ等しいから
　\(\triangle {\rm DBA}\,\,\unicode{x223D}\,\,\triangle {\rm DAC}\)
[終]

p.140 問5[証明] \(\triangle {\rm BDF}\) と \(\triangle {\rm AEF}\) において、
仮定より、
　\(\angle{\rm FDB}=\angle{\rm FEA}~~~\cdots{\large ①}\)
対頂角が等しいから
　\(\angle{\rm BFD}=\angle{\rm AFE}~~~\cdots{\large ②}\)
①、②より、２組の角がそれぞれ等しいから
　\(\triangle {\rm BDF}\,\,\unicode{x223D}\,\,\triangle {\rm AEF}\)
[終]

p.141 問1$${\small (1)}~15~{\rm cm}^2$$$${\small (2)}~6~{\rm cm}^2$$

p.142 問2$$~~~1:9$$

p.142 問3$$~~~1:k^2$$

p.143 問4$$~~~15~{\rm cm}^2$$

p.143 問5$$~~~4:9$$

p.143 問6$$~~~49:9$$

p.145 問1$$~~~1:k^2$$

p.145 問2$$~~~S:S’=9:16$$$$~~~V:V’=27:64$$

p.145 問3　表面積 \(252~{\rm cm}^2\)
　体積 \(216~{\rm cm}^3\)

p.147 問1\({\small (1)}~\)[証明] \(\triangle {\rm ADE}\) と \(\triangle {\rm EFC}\) において、
\({\rm DE\,//\,BC}\) より、同位角が等しいから
　\(\angle{\rm AED}=\angle{\rm ECF}~~~\cdots{\large ①}\)
\({\rm AB\,//\,EF}\) より、同位角が等しいから
　\(\angle{\rm ABC}=\angle{\rm EFC}\)
また、\({\rm }\) より、同位角が等しいから
　\(\angle{\rm ABC}=\angle{\rm ADE}\)
よって、
　\(\angle{\rm ADE}=\angle{\rm EFC}~~~\cdots{\large ②}\)
①、②より、２組の角がそれぞれ等しいから
　\(\triangle {\rm ADE}\,\,\unicode{x223D}\,\,\triangle {\rm EFC}\)
[終]
\({\small (2)}~\)[証明] \({\rm DB\,//\,EF~,~DE\,//\,BF}\) より、
２組の対辺がそれぞれ平行であるので、
四角形 \({\rm DBFE}\) は平行四辺形である
平行四辺形の対辺は等しいから、
　\({\rm DB=EF}\)
[終]
\({\small (3)}~\)[証明] \(\triangle {\rm ADE}\,\,\unicode{x223D}\,\,\triangle {\rm EFC}\) より、
相似な図形の対応する辺の比が等しいから、
　\({\rm AD:EF=AE:EC}\)
また、\({\rm DB=EF}\) であるので、
　\({\rm AD:DB=AE:EC}\)

p.149 問2$${\small (1)}~x=4~{\rm cm}~,~y=12~{\rm cm}$$$${\small (2)}~x=\frac{\,28\,}{\,5\,}~{\rm cm}~,~y=9~{\rm cm}$$

p.150 問3$${\small (1)}~{\rm AD:AB}=2:3~,~{\rm AE:AC}=2:3$$$${\small (2)}~DE\,//\,BC$$

p.151 問4\({\small (1)}~\)[証明] \(\triangle {\rm ADE}\) と \(\triangle {\rm CFE}\)において、
\({\rm AB\,//\,CF}\) より、錯角が等しいから
　\(\angle{\rm ADE}=\angle{\rm CFE}~~~\cdots{\large ①}\)
対頂角が等しいから
　\(\angle{\rm AED}=\angle{\rm CEF}~~~\cdots{\large ②}\)
①、②より、２組の角がそれぞれ等しいから
　\(\triangle {\rm ADE}\,\,\unicode{x223D}\,\,\triangle {\rm CFE}\)
[終]
\({\small (2)}~\)[証明] \(\triangle {\rm ADE}\,\,\unicode{x223D}\,\,\triangle {\rm CFE}\) より、
対応する辺の比が等しいから、
　\({\rm AD:CF=AE:CE}\)
また、仮定より、
　\({\rm AD:DB=AE:EC}\)
したがって、
　\({\rm BD=CF}\)
[終]
\({\small (3)}~\)[証明] 四角形 \({\rm DBCF}\) において、
　\({\rm BD=CF~,~BD\,//\,CF}\)
１組の対辺が平行でその長さが等しいから、
四角形 \({\rm DBCF}\) は平行四辺形である
よって、\({\rm DF\,//\,BC}\) より、
　\({\rm DE\,//\,BC}\)
[終]

p.151 問5$$~~~{\rm AB\,//\,FE}$$理由は \({\rm CF:FA=CE:EB}=3:5\)

p.152 問1\({\rm MN\,//\,BC}\) の根拠は、
　\({\rm AM:MB=AN:NC}\)
\({\rm MN={\large \frac{\,1\,}{\,2\,}}BC}\) の根拠は、
　\({\rm AM:AB=1:2}\)

p.152 問2$$~~~\angle{\rm AMN}=60^\circ~,~{\rm MN}=5~{\rm cm}$$

p.152 問3\({\small (1)}~\)\(\triangle {\rm AFE}~,~\triangle {\rm FBD}~,~\triangle {\rm EDC}~,~\triangle {\rm DEF}\)
\({\small (2)}~\)[証明] \(\triangle {\rm ABC}\) と \(\triangle {\rm DEF}\) において、
仮定より、
　\({\rm AB:DE}=2:1~~\cdots{\large ①}\)
　\({\rm BC:EF}=2:1~~\cdots{\large ②}\)
　\({\rm AC:DF}=2:1~~\cdots{\large ③}\)
①、②、③より、
３組の辺の比がそれぞれ等しいから
　\(\triangle {\rm ABC}\,\,\unicode{x223D}\,\,\triangle {\rm DEF}\)
[終]

p.153 問4四角形 \({\rm ABCD}\) が長方形のとき、
　四角形 \({\rm EFGH}\) はひし形
四角形 \({\rm ABCD}\) がひし形のとき、
　四角形 \({\rm EFGH}\) は長方形

p.155 問1[証明] 線分 \({\rm AF}\) と \({\rm BE}\) との交点を \({\rm G}\) とする
\(\triangle {\rm ACF}\) において、\({\rm BG\,//\,CF}\) より、
　\({\rm AB:BC=AG:GF}~~\cdots{\large ①}\)
また、\(\triangle {\rm FDA}\) において、\({\rm EG\,//\,DA}\) より、
　\({\rm FE:ED=FG:GA}\)
これより、
　\({\rm DE:EF=AG:GF}~~\cdots{\large ②}\)
①と②より、
　\({\rm AB:BC=DE:EF}\)
[終]

p.155 問2$${\small (1)}~x=12~{\rm cm}$$$${\small (2)}~x=\frac{\,64\,}{\,3\,}~{\rm cm}$$

p.157 問3[証明] 線分ＡＤに平行で点Ｃを通る直線を引く
この直線と線分ＡＢとの延長線との交点をＥとする
\({\rm AD \,//\, EC}\) より、平行線の錯角は等しいから、$$~~~\angle{\rm DAC}=\angle{\rm ACE}~~~\cdots{\large ①}$$\({\rm AD \,//\, EC}\) より、平行線の同位角は等しいから、$$~~~\angle{\rm BAD}=\angle{\rm AEC}~~~\cdots{\large ②}$$\(\angle{\rm BAD}=\angle{\rm DAC}\) と①、②より、$$~~~\angle{\rm ACE}=\angle{\rm AEC}$$よって、\(\triangle {\rm ACE}\) は二等辺三角形となるので、$$~~~{\rm AC=AE}\cdots{\large ③}$$次に、\(\triangle {\rm BEC}\) において、\({\rm AD \,//\, EC}\) より$$~~~{\rm BA:AE=BD:DC}$$③より、$$~~~{\rm AB:AC=BD:DC}$$[終]
 
【別解】
辺ＡＣと平行で点Ｂを通る直線を引く
この直線と二等分線ＡＤの延長線との交点をＦとする
\({\rm AC \,//\, BF}\) より、平行線の錯角は等しいから、$$~~~\angle{\rm DAC}=\angle{\rm BFD}~~~\cdots{\large ①}$$\(\angle{\rm BAD}=\angle{\rm DAC}\) と①より、$$~~~\angle{\rm BAD}=\angle{\rm BFD}$$よって、\(\triangle {\rm ABF}\) は二等辺三角形となるので、$$~~~{\rm AB=BF}\cdots{\large ②}$$次に、\(\triangle {\rm BFD}\) と \(\triangle {\rm CAD}\) において、対頂角が等しいから、$$~~~\angle{\rm BDF}=\angle{\rm CDA}~~~\cdots{\large ③}$$①と③より、２組の角がそれぞれ等しいから、$$~~~\triangle {\rm BFD}∽\triangle {\rm CAD}$$相似な図形の対応する辺の比は等しいから、$$~~~{\rm BF:CA=BD:CD}$$②より、$$~~~{\rm AB:AC=BD:DC}$$[終]

p.157 問4\(\triangle {\rm ABD}\) と \(\triangle {\rm ADC}\) の高さは等しく \(h\) とすると、

それぞれの面積は、$$\begin{eqnarray}~~~\triangle {\rm ABD}&=&\frac{\,1\,}{\,2\,}h\cdot{\rm BD}\\[3pt]~~~\triangle {\rm ADC}&=&\frac{\,1\,}{\,2\,}h\cdot{\rm DC}\end{eqnarray}$$また、点 \({\rm D}\) から辺 \({\rm AB~,~AC}\) にひいた垂線との交点を \({\rm E~,~F}\) とすると、

\(\triangle {\rm AED}\equiv\triangle {\rm AFD}\) となるので、$$~~~{\rm DE=DF}=s$$よって、辺 \({\rm AB~,~AC}\) を底辺としたときの \(\triangle {\rm ABD}\) と \(\triangle {\rm ADC}\) の面積は、$$\begin{eqnarray}~~~\triangle {\rm ABD}&=&\frac{\,1\,}{\,2\,}s\cdot{\rm AB}\\[3pt]~~~\triangle {\rm ADC}&=&\frac{\,1\,}{\,2\,}s\cdot{\rm AC}\end{eqnarray}$$
\(\triangle {\rm ABD}\) と \(\triangle {\rm ADC}\) の比を考えると、$$\begin{split}&\triangle {\rm ABD}:\triangle {\rm ADC}\\[3pt]~~=~&\frac{\,1\,}{\,2\,}h\cdot{\rm BD}:\frac{\,1\,}{\,2\,}h\cdot{\rm DC}\\[3pt]~~=~&{\rm BD}:{\rm DC}\end{split}$$また、
$$\begin{split}&\triangle {\rm ABD}:\triangle {\rm ADC}\\[3pt]~~=~&\frac{\,1\,}{\,2\,}s\cdot{\rm AB}:\frac{\,1\,}{\,2\,}s\cdot{\rm AC}\\[3pt]~~=~&{\rm AB}:{\rm AC}\end{split}$$したがって、$$~~~{\rm AB:AC=BD:DC}$$[終]

p.157 問5$${\small (1)}~x=4~{\rm cm}$$$${\small (2)}~x=6~{\rm cm}$$

p.159 問1　およそ \(1625~{\rm m}\)

p.160 問2$${\small (1)}~2.9~{\rm cm}$$$${\small (2)}~14.5~{\rm m}$$

p.160 問3$$~~~8.4~{\rm m}$$

p.161 問4　およそ \(18.8~{\rm m}\)

p.162 問1　\(2500\) 円

p.162 問2　\(3\) 倍

p.166 発展 問1[証明] 点 \({\rm F~,~D}\) は辺 \({\rm BA~,~BC}\) の中点であるので、中点連結定理より、$$~~~{\rm FD\,//\,AC}~,~{\rm FD}=\frac{\,1\,}{\,2\,}{\rm AC}$$
\(\triangle {\rm G’AC}\) と \(\triangle {\rm G’DF}\) において、
\({\rm FD\,//\,AC}\) より、錯角が等しいから、
　\(\angle{\rm G’AC}=\angle{\rm G’DF}~~~\cdots{\large ①}\)
対頂角かわ等しいから、
　\(\angle{\rm AG’C}=\angle{\rm DG’F}~~~\cdots{\large ②}\)
①、②より、２組の角がそれぞれ等しいので、
　\(\triangle {\rm G’AC}\,\,\unicode{x223D}\,\,\triangle {\rm G’DF}\)
相似な図形は、対応する辺の比がそれぞれ等しいから、
　\({\rm G’A:G’D=AC:DF}\)
\({\rm FD={\large \frac{\,1\,}{\,2\,}}AC}\) より、\({\rm AC:DF}=2:1\) であるので、
　\({\rm AG’:G’D=2:1}\)
[終]

p.166 発展 問2$${\small (1)}~2:1$$$${\small (2)}~2:1$$