日本文教出版：中学数学３

p.124 問1　\(2\) 倍に拡大

p.125 問2\({\small (1)}~\)頂点 \({\rm B}\)　　\({\small (2)}~\)辺 \({\rm AB}\)
\({\small (3)}~\)\(\angle {\rm C’}\)

p.125 問3　\(\triangle {\rm ABC}\,\,\unicode{x223D}\,\,\triangle {\rm A’B’C’}\)

p.125 問4\({\small (1)}~\)いえない　　\({\small (2)}~\)いえる

p.127 問1

p.127 問2\({\small (1)}~2:3\)　　\({\small (2)}~4:3\)

p.127 問3　合同

p.128 問1　\(6~{\rm cm}\)

p.129 問2　\(1~{\rm cm}\)

p.129 問3　\(\angle {\rm E}=36^\circ\)

p.129 問4　\(8~{\rm m}\)

p.131 問1\({\small (1)}~\)

① \({\rm EF}=2a\) の線分を引く。
② \(\angle{\rm E}=\angle{\rm B}\) となる直線を引く。
③ この直線上に \({\rm ED}=2c\) となる点 \({\rm D}\) をとる。

---

\({\small (2)}~\)

① \({\rm EF}=2a\) の線分を引く。
② \(\angle{\rm E}=\angle{\rm B}\) となる直線を引く。
③ \(\angle{\rm F}=\angle{\rm C}\) となる直線を引き、②の直線との交点が点 \({\rm D}\) となる。

p.131 問2・似ているところ
[1]と[2]では使う辺と角の位置が同じ

---

・ちがうところ
辺の長さではなく辺の比を使う。
[3]は辺の条件はいらない

p.132 問3\(\triangle {\rm ABC}\,\,\unicode{x223D}\,\,\triangle {\rm NOM}\)
２組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい

---

\(\triangle {\rm DEF}\,\,\unicode{x223D}\,\,\triangle {\rm QRP}\)
３組の辺の比がすべて等しい

---

\(\triangle {\rm IGH}\,\,\unicode{x223D}\,\,\triangle {\rm LKJ}\)
２組の角がそれぞれ等しい

p.132 問4\({\small (1)}~\)\(\triangle {\rm ABC}\,\,\unicode{x223D}\,\,\triangle {\rm ADE}\)
２組の角がそれぞれ等しい

---

\({\small (2)}~\)\(\triangle {\rm ABC}\,\,\unicode{x223D}\,\,\triangle {\rm DEC}\)
２組の角がそれぞれ等しい

---

\({\small (3)}~\)\(\triangle {\rm ABC}\,\,\unicode{x223D}\,\,\triangle {\rm AED}\)
２組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい

---

\({\small (4)}~\)\(\triangle {\rm ABC}\,\,\unicode{x223D}\,\,\triangle {\rm AED}\)
３組の辺の比がすべて等しい

p.133 問1[証明] \(\triangle {\rm AOC}\) と \(\triangle {\rm BOD}\) において、
仮定より、
　\({\rm OA:OB}=2:3~~\cdots{\large ①}\)
　\({\rm OC:OD}=2:3~~\cdots{\large ②}\)
対頂角が等しいから、
　\(\angle{\rm AOC}=\angle{\rm BOD}~~\cdots{\large ③}\)
①、②、③より、
２組の辺の比とその間の角が、それぞれ等しいので、
　\(\triangle {\rm AOC}\,\,\unicode{x223D}\,\,\triangle {\rm BOD}\)
[終]

p.133 問2[証明] \(\triangle {\rm ABC}\) と \(\triangle {\rm BCD}\) において、
仮定より、
　\({\rm AB:BC}=9:12=3:4~~\cdots{\large ①}\)
　\({\rm BC:CD}=12:16=3:4~~\cdots{\large ②}\)
　\({\rm AC:BD}=15:20=3:4~~\cdots{\large ③}\)
①、②、③より、
３組の辺の比が、それぞれ等しいから、
　\(\triangle {\rm ABC}\,\,\unicode{x223D}\,\,\triangle {\rm BCD}\)

p.134 問3[証明] \(\triangle {\rm ABC}\) と \(\triangle {\rm DAC}\) において、
仮定より、
　\(\angle{\rm BAC}=\angle{\rm ADC}=90^\circ~~\cdots{\large ①}\)
共通の角より、
　\(\angle{\rm ACB}=\angle{\rm DCA}~~\cdots{\large ②}\)
①、②より、
２組の角がそれぞれ等しいから、
　\(\triangle {\rm ABC}\,\,\unicode{x223D}\,\,\triangle {\rm DAC}\)
したがって、
　\({\rm BC:BA=AC:DA}\)
[終]

p.135 問1　\({\rm AB}=8.3~{\rm km}\)　　\({\rm BC}=8.5~{\rm km}\)
　\({\rm AC}=8.2~{\rm km}\)

p.136 問2　およそ \(11.4~{\rm m}\)

p.137 基本の問題 1\({\small (1)}~\)\(\triangle {\rm ABC}\,\,\unicode{x223D}\,\,\triangle {\rm EDC}\)
２組の角がそれぞれ等しい

---

\({\small (2)}~\)\(\triangle {\rm ABC}\,\,\unicode{x223D}\,\,\triangle {\rm EDC}\)
２組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい

p.137 基本の問題 2[証明] \(\triangle {\rm ABC}\) と \(\triangle {\rm BCD}\) において、
\(\angle{\rm B}=\angle{\rm C}=72^\circ\) より、\(\angle{\rm CBD}=32^\circ\)
よって、
　\(\angle{\rm BAC}=\angle{\rm CBD}~~\cdots{\large ①}\)
また、\(\angle{\rm B}=\angle{\rm C}\) より、
　\(\angle{\rm ABC}=\angle{\rm BCD}~~\cdots{\large ②}\)
①、②より、
２組の角がそれぞれ等しいから、
　\(\triangle {\rm ABC}\,\,\unicode{x223D}\,\,\triangle {\rm BCD}\)
したがって、
　\({\rm AB:BC=BC:CD}\)
[終]

p.137 基本の問題 3　およそ \(228~{\rm m}\)

p.139 問1[証明] 点Ｄを通り、辺ＡＣに平行な直線をひき、辺ＢＣとの交点をＦとする
\(\triangle {\rm ADE}\) と \(\triangle {\rm DBF}\) において、
\({\rm DE \,//\, BC}\) より、平行線の同位角は等しいから、
\(\begin{split}~~~\angle{\rm ADE}=\angle{\rm DBF}~~~\cdots{\large ①}\end{split}\)
また、\({\rm AE \,//\, DF}\) より、平行線の同位角は等しいから、
\(\begin{split}~~~\angle{\rm DAE}=\angle{\rm BDF}~~~\cdots{\large ②}\end{split}\)
①、②より、２組の角がそれぞれ等しいから、
\(\begin{split}~~~\triangle {\rm ADE}∽\triangle {\rm DBF}\end{split}\)
相似な図形の対応する辺の比は等しいから、
\(\begin{split}~~~{\rm AD:DB=AE:DF}~~~\cdots{\large ③}\end{split}\)
また、四角形ＤＦＣＥは、
\(\begin{split}~~~{\rm DE\,//\,FC~,~DF\,//\,EC}\end{split}\)
これより、平行四辺形である
平行四辺形の２組の対辺はそれぞれ等しいから、
\(\begin{split}~~~{\rm DF=EC}~~~\cdots{\large ④}\end{split}\)
③と④より、
\(\begin{split}~~~{\rm AD:DB=AE:EC}\end{split}\)
[終]

p.139 問2点 \({\rm D~,~E}\) が辺 \({\rm AB~,~AC}\) の延長線上にあるとき、同位角が等しいので、②の \(\angle{\rm ADE}=\angle{\rm ABC}\) が成り立つ

---

点 \({\rm D~,~E}\) が辺 \({\rm BA~,~CA}\) の延長線上にあるとき、錯角が等しいので、②の \(\angle{\rm ADE}=\angle{\rm ABC}\) が成り立つ

p.139 問3\({\small (1)}~x=5~{\rm cm}~,~y=4~{\rm cm}\)
\({\small (2)}~x=12~{\rm cm}~,~y=6~{\rm cm}\)

p.140 問1[証明] \(\triangle {\rm ADE}\) と \(\triangle {\rm ABC}\) において、
仮定より、
　\({\rm AD:AB}=2:3~~\cdots{\large ①}\)
　\({\rm AE:AC}=2:3~~\cdots{\large ②}\)
共通の角より、
　\(\angle{\rm DAE}=\angle{\rm BAC}~~\cdots{\large ③}\)
①、②、③より、
２組の辺の比とその間の角が、それぞれ等しいので、
　\(\triangle {\rm ADE}\,\,\unicode{x223D}\,\,\triangle {\rm ABC}\)
したがって、
　\(\angle{\rm ADE}=\angle{\rm ABC}\)
同位角が等しいから
　\({\rm DE\,//\,BC}\)
[終]

p.141 問2　\({\rm FD\,//\,AC}\)

---

　\({\rm BF:FA}=6:5\)
　\({\rm BD:DC}=7.2:6=6:5\)

p.141 問3　\(\angle{\rm PQR}=148^\circ\)

p.142 問1\(\begin{split}{\small (1)}~x=\frac{\,18\,}{\,5\,}=3.6~{\rm cm}\end{split}\)　　\(\begin{split}{\small (2)}~x=6~{\rm cm}\end{split}\)
\(\begin{split}{\small (3)}~x=15~{\rm cm}\end{split}\)

p.143 問2[証明] 線分ＡＤに平行で点Ｃを通る直線を引く
この直線と線分ＡＢとの延長線との交点をＥとする
\({\rm AD \,//\, EC}\) より、平行線の錯角は等しいから、
\(\begin{split}~~~\angle{\rm DAC}=\angle{\rm ACE}~~~\cdots{\large ①}\end{split}\)
\({\rm AD \,//\, EC}\) より、平行線の同位角は等しいから、
\(\begin{split}~~~\angle{\rm BAD}=\angle{\rm AEC}~~~\cdots{\large ②}\end{split}\)
\(\angle{\rm BAD}=\angle{\rm DAC}\) と①、②より、
\(\begin{split}~~~\angle{\rm ACE}=\angle{\rm AEC}\end{split}\)
よって、\(\triangle {\rm ACE}\) は二等辺三角形となるので、
\(\begin{split}~~~{\rm AC=AE}\cdots{\large ③}\end{split}\)
次に、\(\triangle {\rm BEC}\) において、\({\rm AD \,//\, EC}\) より
\(\begin{split}~~~{\rm BA:AE=BD:DC}\end{split}\)
③より、
\(\begin{split}~~~{\rm AB:AC=BD:DC}\end{split}\)
[終]

---

【別解】
辺ＡＣと平行で点Ｂを通る直線を引く
この直線と二等分線ＡＤの延長線との交点をＦとする
\({\rm AC \,//\, BF}\) より、平行線の錯角は等しいから、
\(\begin{split}~~~\angle{\rm DAC}=\angle{\rm BFD}~~~\cdots{\large ①}\end{split}\)
\(\angle{\rm BAD}=\angle{\rm DAC}\) と①より、
\(\begin{split}~~~\angle{\rm BAD}=\angle{\rm BFD}\end{split}\)
よって、\(\triangle {\rm ABF}\) は二等辺三角形となるので、
\(\begin{split}~~~{\rm AB=BF}\cdots{\large ②}\end{split}\)
次に、\(\triangle {\rm BFD}\) と \(\triangle {\rm CAD}\) において、対頂角が等しいから、
\(\begin{split}~~~\angle{\rm BDF}=\angle{\rm CDA}~~~\cdots{\large ③}\end{split}\)
①と③より、２組の角がそれぞれ等しいから、
\(\begin{split}~~~\triangle {\rm BFD}∽\triangle {\rm CAD}\end{split}\)
相似な図形の対応する辺の比は等しいから、
\(\begin{split}~~~{\rm BF:CA=BD:CD}\end{split}\)
②より、
\(\begin{split}~~~{\rm AB:AC=BD:DC}\end{split}\)
[終]

p.144 問1　\(\begin{split}{\rm DE}=\frac{\,9\,}{\,2\,}=4.5~{\rm cm}\end{split}\)

---

　\(\begin{split}{\rm EF}=\frac{\,7\,}{\,2\,}=3.5~{\rm cm}\end{split}\)
　\(\begin{split}{\rm FD}=5~{\rm cm}\end{split}\)

p.145 問2　ひし形

p.145 問3[証明] \(\triangle {\rm ABC}\) と \(\triangle {\rm AMN}\) において、
同位角が等しいので、
　\(\angle{\rm ABC}=\angle{\rm AMN}~~\cdots{\large ①}\)
共通の角より、
　\(\angle{\rm BAC}=\angle{\rm MAN}~~\cdots{\large ②}\)
①、②より、
２組の角がそれぞれ等しいから、
　\(\triangle {\rm ABC}\,\,\unicode{x223D}\,\,\triangle {\rm AMN}\)
したがって、
　\({\rm AC:AN=AB:AM}=2:1\)
よって、\({\rm AN:NC}=1:1\) となり、
点 \({\rm N}\) は辺 \({\rm AC}\) の中点である [終]

p.145 やってみよう　\({\rm EF}=7~{\rm cm}\)

p.146 基本の問題 1　\({\rm AC}~,~9~,~9~,~2\)

p.146 基本の問題 2　\({\rm AB\,//\,CD}\)

p.146 基本の問題 3　\(x=8~{\rm cm}\)

p.146 基本の問題 4　平行四辺形

p.148 問1\({\small (1)}~2:1\)　　\({\small (2)}~4:1\)
\({\small (3)}~12~{\rm cm}^2\)

p.148 問2\({\small (1)}~3:4\)　　\({\small (2)}~9:16\)

p.149 問3　\(100~{\rm cm}^2\)

p.149 問4　\(20~{\rm cm}^2\)

p.149 問5　\(1:8\)

p.150 問1　\(k^2\) 倍、\(k^2\) 倍

p.151 問2\({\small (1)}~1:2\)　　\({\small (2)}~1:4\)
\({\small (3)}~1:2\)　　\({\small (4)}~1:8\)

p.151 問3　\(189~{\rm cm}^3\)

p.152 問4　表面積の比 \(1:16\)、体積比 \(1:64\)

p.152 問5　\(7\) 倍

p.153 問1　\(4:9\)、\(8:9\)、Ｌ、\(1\)

p.153 問2　ビッグサイズを \(1\) 枚

---

体積比が \(1:8\) となり、
普通サイズ \(6\) 個と、ビッグサイズ \(1\) 個の体積比は \(6:8\) となるから

p.154 基本の問題 1　\(4~{\rm cm}^2\)

p.154 基本の問題 2\({\small (1)}~5:2\)　　\({\small (2)}~25:4\)
\({\small (3)}~125:8\)

p.154 基本の問題 3\({\small (1)}~\)\({\rm BC}=6~{\rm cm}\)　　\({\small (2)}~\)\(\triangle {\rm ABC}=45~{\rm cm}^2\)
\({\small (3)}~4~{\rm cm}^3\)