このページは、学校図書：中学校数学２
５章 三角形・四角形
５章 三角形・四角形
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学校図書中２ １章 式の計算
学校図書中２ ２章 連立方程式
学校図書中２ ３章 １次関数
学校図書中２ ４章 図形の性質の調べ方
学校図書中２ ５章 三角形・四角形
学校図書中２ ６章 確率
学校図書中２ ７章 データの分析
５章 三角形・四角形
１ 三角形
p.150 問1\({\small (1)}~\angle x=75^\circ~,~\angle y=30^\circ\)
\({\small (2)}~\angle x=69^\circ~,~\angle y=42^\circ\)
\({\small (2)}~\angle x=69^\circ~,~\angle y=42^\circ\)
■ 同じタイプの例題解説
» 二等辺三角形の性質
» 二等辺三角形の性質
p.150 問2 \(\angle{\rm ADC}\)、\(90^\circ\)
■ 同じタイプの例題解説
» 二等辺三角形の性質
» 二等辺三角形の性質
p.151 問3\({\small (1)}~\)[証明]
\(\triangle {\rm ABC}\) と \(\triangle {\rm ADC}\) において、
仮定より、
\(\begin{split}~~~{\rm AB=AD}~~~\cdots{\large ①}\end{split}\)
\(\begin{split}~~~{\rm CB=CD}~~~\cdots{\large ②}\end{split}\)
また、\({\rm AC}\) は共通 \(~~~\cdots{\large ③}\)
①、②、③より、３組の辺がそれぞれ等しいから
\(\begin{split}~~~\triangle {\rm ABC}\equiv\triangle {\rm ADC}\end{split}\)
合同な図形の対応する角は等しいから
\(\begin{split}~~~\angle {\rm BAC}=\angle {\rm DAC}\end{split}\) [終]
\({\small (2)}~\)[証明] \(\triangle {\rm ABD}\) は二等辺三角形で二等辺三角形の頂角の二等分線は底辺を垂直に二等分するので、\({\rm AC}\) は線分 \({\rm BD}\) の垂直二等分線である [終]
\(\triangle {\rm ABC}\) と \(\triangle {\rm ADC}\) において、
仮定より、
\(\begin{split}~~~{\rm AB=AD}~~~\cdots{\large ①}\end{split}\)
\(\begin{split}~~~{\rm CB=CD}~~~\cdots{\large ②}\end{split}\)
また、\({\rm AC}\) は共通 \(~~~\cdots{\large ③}\)
①、②、③より、３組の辺がそれぞれ等しいから
\(\begin{split}~~~\triangle {\rm ABC}\equiv\triangle {\rm ADC}\end{split}\)
合同な図形の対応する角は等しいから
\(\begin{split}~~~\angle {\rm BAC}=\angle {\rm DAC}\end{split}\) [終]
\({\small (2)}~\)[証明] \(\triangle {\rm ABD}\) は二等辺三角形で二等辺三角形の頂角の二等分線は底辺を垂直に二等分するので、\({\rm AC}\) は線分 \({\rm BD}\) の垂直二等分線である [終]
■ 同じタイプの例題解説
» 二等辺三角形の証明
» 二等辺三角形の証明
p.151 問4[証明] \(\triangle {\rm ABM}\) と \(\triangle {\rm ACM}\) において、
仮定より、
\(\begin{split}~~~{\rm AB=AC}~~~\cdots{\large ①}\end{split}\)
\(\begin{split}~~~{\rm BM=CM}~~~\cdots{\large ②}\end{split}\)
共通の辺より、
\(\begin{split}~~~{\rm AM=AM}~~~\cdots{\large ③}\end{split}\)
①、②、③より、３組の辺がそれぞれ等しいから
\(\begin{split}~~~\triangle {\rm ABM}\equiv\triangle {\rm ACM}\end{split}\)
合同な図形の対応する角は等しいから
\(\begin{split}~~~\angle {\rm B}=\angle {\rm C}\end{split}\)
よって、二等辺三角形の２つの底角が等しい [終]
仮定より、
\(\begin{split}~~~{\rm AB=AC}~~~\cdots{\large ①}\end{split}\)
\(\begin{split}~~~{\rm BM=CM}~~~\cdots{\large ②}\end{split}\)
共通の辺より、
\(\begin{split}~~~{\rm AM=AM}~~~\cdots{\large ③}\end{split}\)
①、②、③より、３組の辺がそれぞれ等しいから
\(\begin{split}~~~\triangle {\rm ABM}\equiv\triangle {\rm ACM}\end{split}\)
合同な図形の対応する角は等しいから
\(\begin{split}~~~\angle {\rm B}=\angle {\rm C}\end{split}\)
よって、二等辺三角形の２つの底角が等しい [終]
■ 同じタイプの例題解説
» 二等辺三角形の証明
» 二等辺三角形の証明
p.153 問5[証明] \(\triangle {\rm ABC}\) が二等辺三角形より、底角が等しいから
\(\begin{split}~~~\angle{\rm B}=\angle{\rm C}~~~\cdots{\large ①}\end{split}\)
ＢＰは角の二等分線より、
\(\begin{split}~~~\angle{\rm PBC}=\angle{\rm B}\times\frac{\,1\,}{\,2\,}\end{split}\)
また、ＣＰは角の二等分線より、
\(\begin{split}~~~\angle{\rm PCB}=\angle{\rm C}\times\frac{\,1\,}{\,2\,}\end{split}\)
よって、①より、
\(\begin{split}~~~\angle{\rm B}\times\frac{\,1\,}{\,2\,}=\angle{\rm C}\times\frac{\,1\,}{\,2\,}\end{split}\)
したがって、
\(\begin{split}~~~\angle{\rm PBC}=\angle{\rm PCB}\end{split}\)
三角形の２つの角が等しいから、\(\triangle {\rm PBC}\) は二等辺三角形となる [終]
\(\begin{split}~~~\angle{\rm B}=\angle{\rm C}~~~\cdots{\large ①}\end{split}\)
ＢＰは角の二等分線より、
\(\begin{split}~~~\angle{\rm PBC}=\angle{\rm B}\times\frac{\,1\,}{\,2\,}\end{split}\)
また、ＣＰは角の二等分線より、
\(\begin{split}~~~\angle{\rm PCB}=\angle{\rm C}\times\frac{\,1\,}{\,2\,}\end{split}\)
よって、①より、
\(\begin{split}~~~\angle{\rm B}\times\frac{\,1\,}{\,2\,}=\angle{\rm C}\times\frac{\,1\,}{\,2\,}\end{split}\)
したがって、
\(\begin{split}~~~\angle{\rm PBC}=\angle{\rm PCB}\end{split}\)
三角形の２つの角が等しいから、\(\triangle {\rm PBC}\) は二等辺三角形となる [終]
■ 同じタイプの例題解説
» 二等辺三角形になるための条件
» 二等辺三角形になるための条件
p.153 問6 二等辺三角形
[証明] 折り返した角より、
\(~~~\angle{\rm ABC}=\angle{\rm CBE}\)
錯角が等しいので、
\(~~~\angle{\rm ACB}=\angle{\rm CBE}\)
よって、
\(~~~\angle{\rm ABC}=\angle{\rm ACB}\)
２つの角が等しいので、\(\triangle {\rm ABC}\) は二等辺三角形となる
[証明] 折り返した角より、
\(~~~\angle{\rm ABC}=\angle{\rm CBE}\)
錯角が等しいので、
\(~~~\angle{\rm ACB}=\angle{\rm CBE}\)
よって、
\(~~~\angle{\rm ABC}=\angle{\rm ACB}\)
２つの角が等しいので、\(\triangle {\rm ABC}\) は二等辺三角形となる
■ 同じタイプの例題解説
» 二等辺三角形になるための条件
» 二等辺三角形になるための条件
p.154 問7 \({\rm \angle C~,~BC~,~\angle C}\)
■ 同じタイプの例題解説
» 正三角形の性質
» 正三角形の性質
p.154 問8[証明] \(\triangle {\rm ABC}\) は \(\angle{\rm B}=\angle{\rm C}\) の二等辺三角形であるから、
\({\rm AB=AC}~~~\cdots{\large ①}\)
また、\(\triangle {\rm ABC}\) は \(\angle{\rm A}=\angle{\rm C}\) の二等辺三角形であるから、
\({\rm BA=BC}~~~\cdots{\large ②}\)
①、②より、
\({\rm AB=BC=AC}\)
３辺が等しい三角形であるから、\(\triangle {\rm ABC}\) は正三角形である [終]
\({\rm AB=AC}~~~\cdots{\large ①}\)
また、\(\triangle {\rm ABC}\) は \(\angle{\rm A}=\angle{\rm C}\) の二等辺三角形であるから、
\({\rm BA=BC}~~~\cdots{\large ②}\)
①、②より、
\({\rm AB=BC=AC}\)
３辺が等しい三角形であるから、\(\triangle {\rm ABC}\) は正三角形である [終]
■ 同じタイプの例題解説
» 正三角形の性質
» 正三角形の性質
p.154 問9\(\begin{split}{\small (1)}~\end{split}\)[証明] \(\triangle {\rm ACQ}\) と \(\triangle {\rm PCB}\) において、
仮定より、
\(\begin{split}~~~{\rm AC=PC}~~~\cdots{\large ①}\end{split}\)
\(\begin{split}~~~{\rm CQ=CB}~~~\cdots{\large ②}\end{split}\)
ここで、\(\angle{\rm ACP}+\angle{\rm QCB}=60^\circ\) より、
\(\begin{split}~~~\angle{\rm ACQ}=60^\circ+\angle{\rm PCQ}\end{split}\)
\(\begin{split}~~~\angle{\rm PCB}=60^\circ+\angle{\rm PCQ}\end{split}\)
よって、
\(\begin{split}~~~{\rm \angle ACQ=\angle PCB}~~~\cdots{\large ③}\end{split}\)
①、②、③より、２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいから
\(\begin{split}~~~\triangle {\rm ACQ}\equiv\triangle {\rm PCB}\end{split}\)
合同な図形の対応する辺は等しいから
\(\begin{split}~~~ {\rm AQ=PB}\end{split}\) [終]
\(\begin{split}{\small (2)}~60^\circ\end{split}\)
仮定より、
\(\begin{split}~~~{\rm AC=PC}~~~\cdots{\large ①}\end{split}\)
\(\begin{split}~~~{\rm CQ=CB}~~~\cdots{\large ②}\end{split}\)
ここで、\(\angle{\rm ACP}+\angle{\rm QCB}=60^\circ\) より、
\(\begin{split}~~~\angle{\rm ACQ}=60^\circ+\angle{\rm PCQ}\end{split}\)
\(\begin{split}~~~\angle{\rm PCB}=60^\circ+\angle{\rm PCQ}\end{split}\)
よって、
\(\begin{split}~~~{\rm \angle ACQ=\angle PCB}~~~\cdots{\large ③}\end{split}\)
①、②、③より、２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいから
\(\begin{split}~~~\triangle {\rm ACQ}\equiv\triangle {\rm PCB}\end{split}\)
合同な図形の対応する辺は等しいから
\(\begin{split}~~~ {\rm AQ=PB}\end{split}\) [終]
\(\begin{split}{\small (2)}~60^\circ\end{split}\)
■ 同じタイプの例題解説
» 正三角形の性質
» 正三角形の性質
p.154 問1\({\small (1)}~\)\(\triangle {\rm ABE}\) は \({\rm AB=AE}\) の二等辺三角形となり、底角が等しいので、
\(\angle{\rm B}=\angle{\rm E}\)
\({\small (2)}~\)[証明] \(\triangle {\rm ABC}\) と \(\triangle {\rm DEF}\) において、
仮定より、
\(\begin{split}~~~{\rm AB=DE}~~~\cdots{\large ①}\end{split}\)
\(\begin{split}~~~{\rm AC=DF}~~~\cdots{\large ②}\end{split}\)
\(\triangle {\rm ABE}\) が二等辺三角形で底角が等しいから
\(\begin{split}~~~\angle{\rm B}=\angle{\rm E}\end{split}\)
また、\(\angle{\rm C}=\angle{\rm F}=90^\circ\) より、
\(\begin{split}~~~\angle{\rm A}=\angle{\rm D}~~~\cdots{\large ③}\end{split}\)
①、②、③より、２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいから、
\(\begin{split}~~~\triangle {\rm ABC}=\triangle {\rm DEF}\end{split}\)
[終]
\(\angle{\rm B}=\angle{\rm E}\)
\({\small (2)}~\)[証明] \(\triangle {\rm ABC}\) と \(\triangle {\rm DEF}\) において、
仮定より、
\(\begin{split}~~~{\rm AB=DE}~~~\cdots{\large ①}\end{split}\)
\(\begin{split}~~~{\rm AC=DF}~~~\cdots{\large ②}\end{split}\)
\(\triangle {\rm ABE}\) が二等辺三角形で底角が等しいから
\(\begin{split}~~~\angle{\rm B}=\angle{\rm E}\end{split}\)
また、\(\angle{\rm C}=\angle{\rm F}=90^\circ\) より、
\(\begin{split}~~~\angle{\rm A}=\angle{\rm D}~~~\cdots{\large ③}\end{split}\)
①、②、③より、２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいから、
\(\begin{split}~~~\triangle {\rm ABC}=\triangle {\rm DEF}\end{split}\)
[終]
■ 同じタイプの例題解説
» 直角三角形の合同条件
» 直角三角形の合同条件
p.156 問2\(~~~\triangle {\rm ABC}\equiv\triangle {\rm NOM}\)
直角三角形で、斜辺と１つの鋭角がそれぞれ等しい
\(~~~\triangle {\rm GHI}\equiv\triangle {\rm LJK}\)
直角三角形で、斜辺と他の１辺がそれぞれ等しい
直角三角形で、斜辺と１つの鋭角がそれぞれ等しい
\(~~~\triangle {\rm GHI}\equiv\triangle {\rm LJK}\)
直角三角形で、斜辺と他の１辺がそれぞれ等しい
■ 同じタイプの例題解説
» 直角三角形の合同条件
» 直角三角形の合同条件
p.157 問3角の二等分線上の点から２辺に引いた垂線の長さは等しい
■ 同じタイプの例題解説
» 直角三角形の合同条件
» 直角三角形の合同条件
p.157 問4[証明]\(\triangle {\rm ABE}\) と \(\triangle {\rm ADE}\) で、
仮定より、
\({\rm AB=AD}~~~\cdots{\large ①}\)
\(\angle{\rm ABE}=\angle{\rm ADE}=90^\circ~~~\cdots{\large ②}\)
共通の辺より、
\({\rm AE=AE}~~~\cdots{\large ③}\)
①、②、③から、直角三角形の斜辺と他の１辺がそれぞれ等しいので、
\(\triangle {\rm ABE}\equiv\triangle {\rm ADE}\)
合同な図形では、対応する辺が等しいので、
\({\rm BE=DE}\)
[終]
仮定より、
\({\rm AB=AD}~~~\cdots{\large ①}\)
\(\angle{\rm ABE}=\angle{\rm ADE}=90^\circ~~~\cdots{\large ②}\)
共通の辺より、
\({\rm AE=AE}~~~\cdots{\large ③}\)
①、②、③から、直角三角形の斜辺と他の１辺がそれぞれ等しいので、
\(\triangle {\rm ABE}\equiv\triangle {\rm ADE}\)
合同な図形では、対応する辺が等しいので、
\({\rm BE=DE}\)
[終]
■ 同じタイプの例題解説
» 直角三角形の証明
» 直角三角形の証明
確かめよう
p.158 確かめよう 1二等辺三角形の定義は、２つの辺が等しい三角形
正三角形の定義は、３つの辺が等しい三角形
正三角形の定義は、３つの辺が等しい三角形
■ 同じタイプの例題解説
» 二等辺三角形の性質
» 二等辺三角形の性質
■ 同じタイプの例題解説
» 正三角形の性質
» 正三角形の性質
p.158 確かめよう 2\({\small (1)}~\)[証明] \(\triangle {\rm DBC}\) と \(\triangle {\rm ECB}\) において、
仮定より、
\(\begin{split}~~~{\rm DB=EC}~~~\cdots{\large ①}\end{split}\)
\(\begin{split}~~~{\rm \angle DBC=\angle ECB}~~~\cdots{\large ②}\end{split}\)
共通の辺より、
\(\begin{split}~~~{\rm BC=CB}~~~\cdots{\large ③}\end{split}\)
①、②、③より、２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいから
\(\begin{split}~~~\triangle {\rm DBC}\equiv\triangle {\rm ECB}\end{split}\) [終]
\({\small (2)}~\)合同な図形では、対応する角が等しいので、
\(\angle{\rm DCB}=\angle{\rm EBC}\)
底角が等しいので、\(\triangle {\rm PBC}\) は二等辺三角形である
仮定より、
\(\begin{split}~~~{\rm DB=EC}~~~\cdots{\large ①}\end{split}\)
\(\begin{split}~~~{\rm \angle DBC=\angle ECB}~~~\cdots{\large ②}\end{split}\)
共通の辺より、
\(\begin{split}~~~{\rm BC=CB}~~~\cdots{\large ③}\end{split}\)
①、②、③より、２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいから
\(\begin{split}~~~\triangle {\rm DBC}\equiv\triangle {\rm ECB}\end{split}\) [終]
\({\small (2)}~\)合同な図形では、対応する角が等しいので、
\(\angle{\rm DCB}=\angle{\rm EBC}\)
底角が等しいので、\(\triangle {\rm PBC}\) は二等辺三角形である
■ 同じタイプの例題解説
» 二等辺三角形になるための条件
» 二等辺三角形になるための条件
p.158 確かめよう 3 鋭角、１辺
■ 同じタイプの例題解説
» 直角三角形の合同条件
» 直角三角形の合同条件
p.158 確かめよう 4[証明]\(\triangle {\rm ABC}\) と \(\triangle {\rm ADC}\) で、
仮定より、
\({\rm AB=AD}~~~\cdots{\large ①}\)
\(\angle{\rm B}=\angle{\rm D}=90^\circ~~~\cdots{\large ②}\)
共通の辺より、
\({\rm AC=AC}~~~\cdots{\large ③}\)
①、②、③から、直角三角形の斜辺と他の１辺がそれぞれ等しいので、
\(\triangle {\rm ABC}\equiv\triangle {\rm ADC}\)
合同な図形では、対応する辺が等しいので、
\({\rm BC=DC}\)
[終]
仮定より、
\({\rm AB=AD}~~~\cdots{\large ①}\)
\(\angle{\rm B}=\angle{\rm D}=90^\circ~~~\cdots{\large ②}\)
共通の辺より、
\({\rm AC=AC}~~~\cdots{\large ③}\)
①、②、③から、直角三角形の斜辺と他の１辺がそれぞれ等しいので、
\(\triangle {\rm ABC}\equiv\triangle {\rm ADC}\)
合同な図形では、対応する辺が等しいので、
\({\rm BC=DC}\)
[終]
■ 同じタイプの例題解説
» 直角三角形の証明
» 直角三角形の証明
２ 四角形
p.160 問2 対角線 \({\rm BD}\) を引き、
\(\triangle {\rm ABD}\) と \(\triangle {\rm CDB}\) の合同を示す
\(\triangle {\rm ABD}\) と \(\triangle {\rm CDB}\) の合同を示す
■ 同じタイプの例題解説
» 平行四辺形の証明
» 平行四辺形の証明
p.160 問3[証明] \(\triangle {\rm ABD}\equiv\triangle {\rm CDB}\) より、
\(\angle{\rm ABD}=\angle{\rm CDB}~~~\cdots{\large ①}\)
\(\angle{\rm ADB}=\angle{\rm CBD}~~~\cdots{\large ②}\)
また、
\(\angle{\rm ABC}=\angle{\rm ABD}+\angle{\rm CBD}\)
\(\angle{\rm CDA}=\angle{\rm ADB}+\angle{\rm CDB}\)
これと①と②より、
\(\angle{\rm ABC}=\angle{\rm CDA}\) [終]
\(\angle{\rm ABD}=\angle{\rm CDB}~~~\cdots{\large ①}\)
\(\angle{\rm ADB}=\angle{\rm CBD}~~~\cdots{\large ②}\)
また、
\(\angle{\rm ABC}=\angle{\rm ABD}+\angle{\rm CBD}\)
\(\angle{\rm CDA}=\angle{\rm ADB}+\angle{\rm CDB}\)
これと①と②より、
\(\angle{\rm ABC}=\angle{\rm CDA}\) [終]
■ 同じタイプの例題解説
» 平行四辺形の証明
» 平行四辺形の証明
p.161 問4[証明] \(\triangle {\rm ABO}\) と \(\triangle {\rm CDO}\) において、
平行四辺形の性質より、
\(\begin{split}~~~{\rm AB=CD}~~~\cdots{\large ①}\end{split}\)
\(\begin{split}~~~{\rm \angle BAO=\angle DCO}~~~\cdots{\large ②}\end{split}\)
\(\begin{split}~~~{\rm \angle ABO=\angle CDO}~~~\cdots{\large ③}\end{split}\)
①、②、③より、１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいから
\(\begin{split}~~~\triangle {\rm ABO}\equiv\triangle {\rm CDO}\end{split}\)
合同な図形の対応する辺は等しいから、
\({\rm AO=CO~,~BO=DO}\) [終]
平行四辺形の性質より、
\(\begin{split}~~~{\rm AB=CD}~~~\cdots{\large ①}\end{split}\)
\(\begin{split}~~~{\rm \angle BAO=\angle DCO}~~~\cdots{\large ②}\end{split}\)
\(\begin{split}~~~{\rm \angle ABO=\angle CDO}~~~\cdots{\large ③}\end{split}\)
①、②、③より、１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいから
\(\begin{split}~~~\triangle {\rm ABO}\equiv\triangle {\rm CDO}\end{split}\)
合同な図形の対応する辺は等しいから、
\({\rm AO=CO~,~BO=DO}\) [終]
■ 同じタイプの例題解説
» 平行四辺形の証明
» 平行四辺形の証明
p.161 問5\({\small (1)}~\angle x=70^\circ~,~\angle y=110^\circ\)
\({\small (2)}~x=4~{\rm cm}~,~y=3.5~{\rm cm}\)
\({\small (2)}~x=4~{\rm cm}~,~y=3.5~{\rm cm}\)
■ 同じタイプの例題解説
» 平行四辺形の性質
» 平行四辺形の性質
p.162 問6 \(\angle{\rm AEB}=\angle{\rm CFD}~,~\angle{\rm ABE}=\angle{\rm CDF}\)
■ 同じタイプの例題解説
» 平行四辺形の証明
» 平行四辺形の証明
p.162 問7\({\small (1)}~\)
\({\small (3)}~\)[証明] \(\triangle {\rm AOP}\) と \(\triangle {\rm COQ}\) において、
対頂角は等しいから、
\(\angle{\rm AOP}=\angle{\rm COQ}~~~\cdots{\large ①}\)
四角形 \({\rm ABCD}\) は平行四辺形より、平行線の錯角が等しいから、
\(\angle{\rm OAP}=\angle{\rm OCQ}~~~\cdots{\large ②}\)
平行四辺形の対角線はそれぞれの中点で交わるから、
\({\rm OA=OC}~~~\cdots{\large ③}\)
①、②、③より、１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいから
\(\triangle {\rm AOP}\equiv\triangle {\rm COQ}\)
合同な図形では対応する辺の長さが等しいから、
\({\rm PO=QO}\)
[終]
※ \(\triangle {\rm DOP}\) と \(\triangle {\rm BOQ}\) でも同様に証明できる。
\({\small (2)}~\)線分 \({\rm QO}\)
\({\small (3)}~\)[証明] \(\triangle {\rm AOP}\) と \(\triangle {\rm COQ}\) において、
対頂角は等しいから、
\(\angle{\rm AOP}=\angle{\rm COQ}~~~\cdots{\large ①}\)
四角形 \({\rm ABCD}\) は平行四辺形より、平行線の錯角が等しいから、
\(\angle{\rm OAP}=\angle{\rm OCQ}~~~\cdots{\large ②}\)
平行四辺形の対角線はそれぞれの中点で交わるから、
\({\rm OA=OC}~~~\cdots{\large ③}\)
①、②、③より、１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいから
\(\triangle {\rm AOP}\equiv\triangle {\rm COQ}\)
合同な図形では対応する辺の長さが等しいから、
\({\rm PO=QO}\)
[終]
※ \(\triangle {\rm DOP}\) と \(\triangle {\rm BOQ}\) でも同様に証明できる。
■ 同じタイプの例題解説
» 平行四辺形の証明
» 平行四辺形の証明
p.164 問2① [証明] 四角形の内角の和が \(360^\circ\) より、
\(\angle{\rm A}+\angle{\rm B}+\angle{\rm C}+\angle{\rm D}=360^\circ\)
仮定より、\(\angle{\rm A}=\angle{\rm C}~,~\angle{\rm B}=\angle{\rm D}\) であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\angle{\rm A}+\angle{\rm B}+\angle{\rm A}+\angle{\rm B}&=&360^\circ\\[2pt]~~~2(\angle{\rm A}+\angle{\rm B})&=&360^\circ\\[2pt]~~~\angle{\rm A}+\angle{\rm B}&=&180^\circ\end{eqnarray}\)
② \(\angle{\rm EAD}+\angle{\rm A}=180^\circ\) より、
\(\angle{\rm EAD}=\angle{\rm B}\)
③ 同位角が等しいので、
\({\rm AD\,//\,BC}\)
④ \(\angle{\rm B}=\angle{\rm D}\) より、
\(\angle{\rm EAD}=\angle{\rm D}\)
錯角が等しいので、
\({\rm AB\,//\,DC}\) [終]
\(\angle{\rm A}+\angle{\rm B}+\angle{\rm C}+\angle{\rm D}=360^\circ\)
仮定より、\(\angle{\rm A}=\angle{\rm C}~,~\angle{\rm B}=\angle{\rm D}\) であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\angle{\rm A}+\angle{\rm B}+\angle{\rm A}+\angle{\rm B}&=&360^\circ\\[2pt]~~~2(\angle{\rm A}+\angle{\rm B})&=&360^\circ\\[2pt]~~~\angle{\rm A}+\angle{\rm B}&=&180^\circ\end{eqnarray}\)
② \(\angle{\rm EAD}+\angle{\rm A}=180^\circ\) より、
\(\angle{\rm EAD}=\angle{\rm B}\)
③ 同位角が等しいので、
\({\rm AD\,//\,BC}\)
④ \(\angle{\rm B}=\angle{\rm D}\) より、
\(\angle{\rm EAD}=\angle{\rm D}\)
錯角が等しいので、
\({\rm AB\,//\,DC}\) [終]
■ 同じタイプの例題解説
» 平行四辺形になるための条件
» 平行四辺形になるための条件
p.165 問3[証明] \(\triangle {\rm AOB}\) と \(\triangle {\rm COD}\) について、
仮定より、
\({\rm AO=CO}~~~\cdots{\large ①}\)
\({\rm BO=DO}~~~\cdots{\large ②}\)
対頂角が等しいので、
\(\angle{\rm AOB}=\angle{\rm COD}~~~\cdots{\large ③}\)
①、②、③より、２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいから
\(\triangle {\rm AOB}\equiv\triangle {\rm COD}\)
合同な図形では、対応する角の大きさが等しいので、
\(\angle{\rm OAB}=\angle{\rm OCD}\)
錯角が等しいので、
\({\rm AB\,//\,CD}\)
同様に、\(\triangle {\rm AOD}\) と \(\triangle {\rm COB}\) でも考えて、
\({\rm AD\,//\,CB}\)
仮定より、
\({\rm AO=CO}~~~\cdots{\large ①}\)
\({\rm BO=DO}~~~\cdots{\large ②}\)
対頂角が等しいので、
\(\angle{\rm AOB}=\angle{\rm COD}~~~\cdots{\large ③}\)
①、②、③より、２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいから
\(\triangle {\rm AOB}\equiv\triangle {\rm COD}\)
合同な図形では、対応する角の大きさが等しいので、
\(\angle{\rm OAB}=\angle{\rm OCD}\)
錯角が等しいので、
\({\rm AB\,//\,CD}\)
同様に、\(\triangle {\rm AOD}\) と \(\triangle {\rm COB}\) でも考えて、
\({\rm AD\,//\,CB}\)
■ 同じタイプの例題解説
» 平行四辺形になるための条件
» 平行四辺形になるための条件
p.165 問4[証明] 対角線 \({\rm BD}\) を引き、\(\triangle {\rm ABD}\) と \(\triangle {\rm CDB}\) について、
仮定より、
\({\rm AD=CB}~~~\cdots{\large ①}\)
錯角が等しいので、
\(\angle{\rm ADB}=\angle{\rm CDB}~~~\cdots{\large ②}\)
共通の辺より、
\({\rm BD=DB}~~~\cdots{\large ③}\)
①、②、③より、２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいから
\(\triangle {\rm ABD}\equiv\triangle {\rm CDB}\)
合同な図形では、対応する角の大きさが等しいので、
\(\angle{\rm ABD}=\angle{\rm CDB}\)
錯角が等しいので、
\({\rm AB\,//\,CD}\)
したがって、
２組の対辺がそれぞれ平行であるので、四角形 \({\rm ABCD}\) は平行四辺形である [終]
仮定より、
\({\rm AD=CB}~~~\cdots{\large ①}\)
錯角が等しいので、
\(\angle{\rm ADB}=\angle{\rm CDB}~~~\cdots{\large ②}\)
共通の辺より、
\({\rm BD=DB}~~~\cdots{\large ③}\)
①、②、③より、２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいから
\(\triangle {\rm ABD}\equiv\triangle {\rm CDB}\)
合同な図形では、対応する角の大きさが等しいので、
\(\angle{\rm ABD}=\angle{\rm CDB}\)
錯角が等しいので、
\({\rm AB\,//\,CD}\)
したがって、
２組の対辺がそれぞれ平行であるので、四角形 \({\rm ABCD}\) は平行四辺形である [終]
■ 同じタイプの例題解説
» 平行四辺形になるための条件
» 平行四辺形になるための条件
p.166 問6[証明] \(\triangle {\rm ABE}\) と \(\triangle {\rm CDF}\) について、
仮定より、
\({\rm AE=CF}~~~\cdots{\large ①}\)
\({\rm AB=CD}~~~\cdots{\large ②}\)
錯角が等しいので、
\(\angle{\rm BAE}=\angle{\rm DCF}~~~\cdots{\large ③}\)
①、②、③より、２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいから
\(\triangle {\rm ABF}\equiv\triangle {\rm CDF}\)
合同な図形では、対応する辺の大きさが等しいので、
\({\rm BE=DF}~~~\cdots{\large ④}\)
また、\(\triangle {\rm ADE}\) と \(\triangle {\rm CBF}\) でも同様に考えて、
\({\rm DE=BF}~~~\cdots{\large ⑤}\)
④と⑤より、２組の対辺がそれぞれ等しいので、四角形 \({\rm EBFD}\) は平行四辺形である [終]
仮定より、
\({\rm AE=CF}~~~\cdots{\large ①}\)
\({\rm AB=CD}~~~\cdots{\large ②}\)
錯角が等しいので、
\(\angle{\rm BAE}=\angle{\rm DCF}~~~\cdots{\large ③}\)
①、②、③より、２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいから
\(\triangle {\rm ABF}\equiv\triangle {\rm CDF}\)
合同な図形では、対応する辺の大きさが等しいので、
\({\rm BE=DF}~~~\cdots{\large ④}\)
また、\(\triangle {\rm ADE}\) と \(\triangle {\rm CBF}\) でも同様に考えて、
\({\rm DE=BF}~~~\cdots{\large ⑤}\)
④と⑤より、２組の対辺がそれぞれ等しいので、四角形 \({\rm EBFD}\) は平行四辺形である [終]
■ 同じタイプの例題解説
» 図形の中の平行四辺形
» 図形の中の平行四辺形
p.166 問7[証明] \({\rm AB\,//\,DC}\) より、
\({\rm MB\,//\,DN}~~~\cdots{\large ①}\)
また、\({\rm }\) より、
\({\rm MB=DN}~~~\cdots{\large ②}\)
①と②より、１組の対辺が平行で等しいので、四角形 \({\rm MBND}\) は平行四辺形である [終]
\({\rm MB\,//\,DN}~~~\cdots{\large ①}\)
また、\({\rm }\) より、
\({\rm MB=DN}~~~\cdots{\large ②}\)
①と②より、１組の対辺が平行で等しいので、四角形 \({\rm MBND}\) は平行四辺形である [終]
■ 同じタイプの例題解説
» 図形の中の平行四辺形
» 図形の中の平行四辺形
p.168 問2[証明] \(\triangle {\rm ABO}\) と \(\triangle {\rm ADO}\) について、
ひし形の４つの辺はすべて等しいので、
\({\rm AB=AD}~~~\cdots{\large ①}\)
ひし形は平行四辺形であり、対角線はそれぞれの中点で交わるので、
\({\rm BO=DO}~~~\cdots{\large ②}\)
共通の辺より、
\({\rm AO=AO}~~~\cdots{\large ③}\)
①、②、③より、３組の辺がそれぞれ等しいから
\(\triangle {\rm ABO}\equiv\triangle {\rm ADO}\)
合同な図形では、対応する角の大きさが等しいので、
\(\angle{\rm BAO}=\angle{\rm DAO}\)
ここで、\(\triangle {\rm ABD}\) は二等辺三角形で \({\rm AO}\) は \(\angle{\rm BAD}\) の二等分線であるので、
直線 \({\rm AO}\) な辺 \({\rm BC}\) を垂直に二等分する
したがって、ひし形の対角線は垂直に交わる [終]
ひし形の４つの辺はすべて等しいので、
\({\rm AB=AD}~~~\cdots{\large ①}\)
ひし形は平行四辺形であり、対角線はそれぞれの中点で交わるので、
\({\rm BO=DO}~~~\cdots{\large ②}\)
共通の辺より、
\({\rm AO=AO}~~~\cdots{\large ③}\)
①、②、③より、３組の辺がそれぞれ等しいから
\(\triangle {\rm ABO}\equiv\triangle {\rm ADO}\)
合同な図形では、対応する角の大きさが等しいので、
\(\angle{\rm BAO}=\angle{\rm DAO}\)
ここで、\(\triangle {\rm ABD}\) は二等辺三角形で \({\rm AO}\) は \(\angle{\rm BAD}\) の二等分線であるので、
直線 \({\rm AO}\) な辺 \({\rm BC}\) を垂直に二等分する
したがって、ひし形の対角線は垂直に交わる [終]
■ 同じタイプの例題解説
» 特別な平行四辺形
» 特別な平行四辺形
確かめよう
p.170 確かめよう 1 ２組の対辺がそれぞれ平行
■ 同じタイプの例題解説
» 平行四辺形の性質
» 平行四辺形の性質
p.170 確かめよう 2[証明] \(\triangle {\rm ABE}\) と \(\triangle {\rm CDF}\) について、
仮定より、
\({\rm AE=CF}~~~\cdots{\large ①}\)
平行四辺形の性質より、
\({\rm AB=CD}~~~\cdots{\large ②}\)
\({\rm \angle BAE=\angle DCF}~~~\cdots{\large ③}\)
①、②、③より、２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいから
\(\triangle {\rm ABE}\equiv\triangle {\rm CDF}\)
合同な図形では、対応する辺の大きさが等しいので、
\({\rm BE=DF}\) [終]
仮定より、
\({\rm AE=CF}~~~\cdots{\large ①}\)
平行四辺形の性質より、
\({\rm AB=CD}~~~\cdots{\large ②}\)
\({\rm \angle BAE=\angle DCF}~~~\cdots{\large ③}\)
①、②、③より、２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいから
\(\triangle {\rm ABE}\equiv\triangle {\rm CDF}\)
合同な図形では、対応する辺の大きさが等しいので、
\({\rm BE=DF}\) [終]
■ 同じタイプの例題解説
» 平行四辺形の証明
» 平行四辺形の証明
p.170 確かめよう 3 イ、ウ
■ 同じタイプの例題解説
» 平行四辺形になるための条件
» 平行四辺形になるための条件
p.170 確かめよう 4\({\small (1)}~\)[証明] 仮定より、
\({\rm AE=CE}~~~\cdots{\large ①}\)
\({\rm DE=FE}~~~\cdots{\large ①}\)
２つの対角線がそれぞれの中点で交わるので、四角形 \({\rm ADCF}\) は平行四辺形である
\({\small (2)}~\)四角形 \({\rm ADCF}\) は平行四辺形より、
\({\rm AD=FC~,~AD\,//\,FC}\)
\({\rm DB=FC~,~DB\,//\,FC}\)
これより、１組の対辺が平行で等しいので、四角形 \({\rm DBCF}\) は平行四辺形である
よって、
\({\rm DF=BC}\) [終]
\({\rm AE=CE}~~~\cdots{\large ①}\)
\({\rm DE=FE}~~~\cdots{\large ①}\)
２つの対角線がそれぞれの中点で交わるので、四角形 \({\rm ADCF}\) は平行四辺形である
\({\small (2)}~\)四角形 \({\rm ADCF}\) は平行四辺形より、
\({\rm AD=FC~,~AD\,//\,FC}\)
\({\rm DB=FC~,~DB\,//\,FC}\)
これより、１組の対辺が平行で等しいので、四角形 \({\rm DBCF}\) は平行四辺形である
よって、
\({\rm DF=BC}\) [終]
■ 同じタイプの例題解説
» 図形の中の平行四辺形
» 図形の中の平行四辺形
p.170 確かめよう 5 長さが等しい、垂直に交わる
■ 同じタイプの例題解説
» 特別な平行四辺形
» 特別な平行四辺形
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