【問題一覧】中２｜三角形と四角形

【解答】
\({\small (1)}~\)
　①　２つの辺が等しい三角形を二等辺三角形という
　②　\(\angle {\rm A}\) は頂角
　③　辺 \({\rm BC}\) は底辺
　④　\(\angle {\rm B}~,~\angle {\rm C}\) は底角、\(\angle {\rm B}=\angle {\rm C}\)
　⑤　\({\rm AD\perp BC~,~BD=CD}\)

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\({\small (2)}~\)
　①　\(\angle x=70^\circ~,~\angle y=40^\circ\)
　②　\(\angle x=50^\circ~,~\angle y=50^\circ\)

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【解答】
\({\small (1)}~\)[証明] \(\angle{\rm A}\) の二等分線と辺 \({\rm BC}\) との交点を \({\rm D}\) とする
\(\triangle {\rm ABD}\) と \(\triangle {\rm ACD}\) について、
仮定より、

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\(~~~{\rm AB=AC}~~~\cdots{\large ①}\)

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線分 \({\rm AD}\) は \(\angle{\rm A}\) の二等分するので、

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\(~~~\angle{\rm BAD}=\angle{\rm CAD}~~~\cdots{\large ②}\)

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また、共通の辺より、

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\(~~~{\rm AD=AD}~~~\cdots{\large ③}\)

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①、②、③より、２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、

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\(~~~\triangle {\rm ABD}\equiv\triangle {\rm ACD}\)

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合同な図形では、対応する角が等しいから、

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\(~~~\angle{\rm ABD}=\angle{\rm ACD}\)

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よって、

---

\(~~~\angle{\rm B}=\angle{\rm C}\)

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したがって、
　\({\rm AB=AC}\) ならば \(\angle{\rm B}=\angle{\rm C}\)
となる [終]

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\({\small (2)}~\)[証明] (1)より、\(\triangle {\rm ABD}\equiv\triangle {\rm ACD}\) であり、合同な図形では、対応する角が等しいから、

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\(~~~\angle{\rm ADB}=\angle{\rm ADC}~~~\cdots{\large ①}\)

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また、

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\(~~~\angle{\rm ADB}+\angle{\rm ADC}=180^\circ~~~\cdots{\large ②}\)

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①を代入すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~\angle{\rm ADB}+\angle{\rm ADC}&=&180^\circ\\[2pt]~~~2\angle{\rm ADB}&=&180^\circ\\[2pt]~~~\angle{\rm ADB}&=&90^\circ\end{eqnarray}\)

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したがって、\({\rm AD\perp BC}\) [終]

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\({\small (3)}~\)[証明] \(\triangle {\rm ABD}\) と \(\triangle {\rm ACD}\) について、
仮定より、

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\(~~~{\rm AB=AC}~~~\cdots{\large ①}\)

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\(~~~{\rm BD=CD}~~~\cdots{\large ②}\)

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また、共通の辺より、

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\(~~~{\rm AD=AD}~~~\cdots{\large ③}\)

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①、②、③より、３組の辺がそれぞれ等しいので、

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\(~~~\triangle {\rm ABD}\equiv\triangle {\rm ACD}\)

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合同な図形では、対応する角が等しいから、

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\(~~~\angle{\rm BAD}=\angle{\rm CAD}\)

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[終]

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【解答】
\({\small (1)}~\)[証明] \(\angle{\rm A}\) の二等分線と辺 \({\rm BC}\) との交点を \({\rm D}\) とする
\(\triangle {\rm ABD}\) と \(\triangle {\rm ACD}\) について、
仮定より、

---

\(~~~\angle{\rm ABD}=\angle{\rm ACD}~~~\cdots{\large ①}\)

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線分 \({\rm AD}\) は \(\angle{\rm A}\) の二等分するので、

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\(~~~\angle{\rm BAD}=\angle{\rm CAD}~~~\cdots{\large ②}\)

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①、②と三角形の内角の和が \(180^\circ\) より、残りの角も等しいので、

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\(~~~\angle{\rm ADB}=\angle{\rm ADC}~~~\cdots{\large ③}\)

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また、共通の辺より、

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\(~~~{\rm AD=AD}~~~\cdots{\large ④}\)

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②、③、④より、１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので、

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\(~~~\triangle {\rm ABD}\equiv\triangle {\rm ACD}\)

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合同な図形では、対応する角が等しいから、

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\(~~~{\rm AB=AC}\)

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[終]

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\({\small (2)}~\)[証明] \(\triangle {\rm ABC}\) は \({\rm AB=AC}\) の二等辺三角形より、底角が等しいので、

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\(~~~\angle{\rm ABC}=\angle{\rm ACB}~~~\cdots{\large ①}\)

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また、\({\rm BP}\) と \({\rm CP}\) はそれぞれ \(\angle{\rm B}=\angle{\rm C}\) の二等分線であるので、

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\(\begin{split}~~~\angle{\rm PBC}=\frac{\,1\,}{\,2\,}\angle{\rm ABC}~~~\cdots{\large ②}\end{split}\)

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\(\begin{split}~~~\angle{\rm PCB}=\frac{\,1\,}{\,2\,}\angle{\rm ACB}~~~\cdots{\large ③}\end{split}\)

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①、②、③より、

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\(~~~\angle{\rm PBC}=\angle{\rm PCB}\)

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これより、\(\triangle {\rm PBC}\) の２つの角が等しいので、
\(\triangle {\rm PBC}\) は二等辺三角形である [終]

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【解答】
\({\small (1)}~\)正しい
\({\small (2)}~\)正しくない、反例は \(a=2~,~b=4\)
\({\small (3)}~\)正しい
\({\small (4)}~\)正しい
\({\small (5)}~\)正しくない、反例は、

\({\small (6)}~\)正しくない、反例は \(x=4\)
\({\small (7)}~\)正しくない、反例は \(a=2~,~b=3\)
\({\small (8)}~\)正しくない、反例は、

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【解答】
\({\small (1)}~\)[証明] \(\triangle {\rm ABC}\) において、
\({\rm AB=AC}\) より、\(\angle{\rm A}\) を頂角とする二等辺三角形となる
よって、底角が等しいので、

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\(~~~\angle{\rm B}=\angle{\rm C}~~~\cdots{\large ①}\)

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また、\({\rm BA=BC}\) より、\(\angle{\rm B}\) を頂角とする二等辺三角形となる
よって、底角が等しいので、

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\(~~~\angle{\rm A}=\angle{\rm C}~~~\cdots{\large ②}\)

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したがって、①と②より、

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\(~~~\angle{\rm A}=\angle{\rm B}=\angle{\rm C}\)

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[終]

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\({\small (2)}~\)[証明] \(\triangle {\rm ABC}\) において、
\(\angle{\rm B}=\angle{\rm C}\) より、底角が等しいので、\(\angle{\rm A}\) を頂角とする二等辺三角形となる
よって、二等辺三角形の定義より、

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\(~~~{\rm AB=AC}~~~\cdots{\large ①}\)

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また、\(\angle{\rm A}=\angle{\rm C}\) より、底角が等しいので、\(\angle{\rm B}\) を頂角とする二等辺三角形となる
よって、二等辺三角形の定義より、

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\(~~~{\rm BA=BC}~~~\cdots{\large ②}\)

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①、②より、

---

\(~~~{\rm AB=BC=CA}\)

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したがって、３つの辺が等しいので、
　\(\triangle {\rm ABC}\) は正三角形
である [終]

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【解答】
\({\small (1)}~\)
①と③ \(\triangle {\rm ABC}\equiv\triangle {\rm IGH}\)
直角三角形の斜辺と他の１辺がそれぞれ等しい
②と⑤ \(\triangle {\rm DEF}\equiv\triangle {\rm MON}\)
直角三角形の斜辺と１つの鋭角がそれぞれ等しい
④と⑥ \(\triangle {\rm JKL}\equiv\triangle {\rm QRP}\)
２組の辺とその間の角がそれぞれ等しい

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\({\small (2)}~\)
①　\(\triangle {\rm ABD}\equiv\triangle {\rm ACD}\)
直角三角形の斜辺と他の１辺がそれぞれ等しい
②　\(\triangle {\rm POA}\equiv\triangle {\rm POB}\)
直角三角形の斜辺と１つの鋭角がそれぞれ等しい
③　\(\triangle {\rm DBC}\equiv\triangle {\rm ECB}\)
直角三角形の斜辺と１つの鋭角がそれぞれ等しい

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【解答】
\({\small (1)}~\)[証明] \(\triangle {\rm ABD}\) と \(\triangle {\rm ACD}\) において、
仮定より、
　\({\rm AB=AC}~~~\cdots{\large ①}\)
　\(\angle{\rm ADB}=\angle{\rm ADC}=90^\circ~~~\cdots{\large ②}\)
共通の辺より、
　\({\rm AD=AD}~~~\cdots{\large ③}\)
①、②、③より、直角三角形の斜辺と他の１辺がそれぞれ等しいから、
　\(\triangle {\rm ABD}\equiv\triangle {\rm ACD}\)
合同な図形では対応する辺の長さは等しいから、
　\({\rm BD=CD}\)
[終]

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\({\small (2)}~\)[証明] \(\triangle {\rm DBC}\) と \(\triangle {\rm ECB}\) において、
仮定より、
　\({\rm BD=CE}~~~\cdots{\large ①}\)
　\(\angle{\rm BDC}=\angle{\rm CEB}=90^\circ~~~\cdots{\large ②}\)
共通の辺より、
　\({\rm BC=CB}~~~\cdots{\large ③}\)
①、②、③より、直角三角形の斜辺と他の１辺がそれぞれ等しいので、
　\(\triangle {\rm DBC}\equiv\triangle {\rm ECB}\)
合同な図形では対応する角の大きさは等しいから、
　\(\angle{\rm DBC}=\angle{\rm ECB}\)
よって、\(\angle{\rm B}=\angle{\rm C}\) となり、底角が等しいから、
　\(\triangle {\rm ABC}\) は二等辺三角形となる
[終]

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\({\small (3)}~\)[証明] \(\triangle {\rm POA}\) と \(\triangle {\rm POB}\) において、
仮定より、
　\({\rm OA=OB}~~~\cdots{\large ①}\)
　\(\angle{\rm PAO}=\angle{\rm PBO}=90^\circ~~~\cdots{\large ②}\)
共通の辺より、
　\({\rm PO=PO}~~~\cdots{\large ③}\)
①、②、③より、直角三角形の斜辺と他の１辺がそれぞれ等しいから、
　\(\triangle {\rm POA}\equiv\triangle {\rm POB}\)
合同な図形では対応する角の大きさは等しいから、
　\(\angle{\rm POA}=\angle{\rm POB}\)
したがって、
　直線 \({\rm OP}\) が \(\angle{\rm XOY}\) の二等分線となる
[終]

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【解答】
\({\small (1)}~\)
　①　２組の対辺がそれぞれ平行な四角形を平行四辺形という
　②　平行四辺形の対辺はそれぞれ等しい
　③　平行四辺形の対角はそれぞれ等しい
　④　平行四辺形の対角線はそれぞれの中点で交わる

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\({\small (2)}~\)
　①　\(x=10~{\rm cm}~,~y=3~{\rm cm}~,~a=70^\circ~,~b=110^\circ\)
　②　\(x=4~{\rm cm}~,~y=3~{\rm cm}\)

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【解答】
\({\small (1)}~\)[証明] \(\triangle {\rm ABC}\) と \(\triangle {\rm CDA}\) において、
\({\rm AD\,//\,BC}\) より、錯角が等しいので、
　\(\angle{\rm ACB}=\angle{\rm CAD}~~~\cdots{\large ①}\)
\({\rm AB\,//\,DC}\) より、錯角が等しいので、
　\(\angle{\rm BAC}=\angle{\rm DCA}~~~\cdots{\large ②}\)
共通の辺より、
　\({\rm AC=CA}~~~\cdots{\large ③}\)
①、②、③より、１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいから、
　\(\triangle {\rm ABC}\equiv\triangle {\rm CDA}\)
合同な図形では対応する辺の長さ、角の大きさは等しいから、
　\({\rm AB=CD~,~BC=DA}~~~\cdots{\large ④}\)
　\(\angle{\rm ABC}=\angle{\rm CDA}~~~\cdots{\large ⑤}\)
④より、\({\rm AB=CD~,~AD=BC}\) となるので、
　【定理１】平行四辺形の対辺はそれぞれ等しい
が示される
また、①と②より、$$\begin{eqnarray}~~~\angle{\rm BAC}+\angle{\rm DAC}&=&\angle{\rm ACD}+\angle{\rm DCA}\\[2pt]~~~\angle{\rm BAD}&=&\angle{\rm DCB}\\[2pt]~~~\angle{\rm A}&=&\angle{\rm C}\end{eqnarray}$$⑤より、\(\angle{\rm B}=\angle{\rm D}\) となるので、
　【定理２】平行四辺形の対角はそれぞれ等しい
が示される [終]

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\({\small (2)}~\)[証明] \(\triangle {\rm AOB}\) と \(\triangle {\rm COB}\) において、
平行四辺形の対辺は等しいので、
　\({\rm AB=CD}~~~\cdots{\large ①}\)
平行四辺形の定義 \({\rm AB\,//\,DC}\) より、錯角が等しいので、
　\(\angle{\rm BAO}=\angle{\rm DCO}~~~\cdots{\large ②}\)
　\(\angle{\rm ABO}=\angle{\rm CDO}~~~\cdots{\large ③}\)
①、②、③より、１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいから、
　\(\triangle {\rm AOB}\equiv\triangle {\rm COD}\)
合同な図形では対応する辺の長さは等しいから、
　\({\rm AO=CO~,~BO=DO}\)
したがって、
【定理３】平行四辺形の対角線はそれぞれの中点で交わる
[終]

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\({\small (3)}~\)[証明] \(\triangle {\rm OBF}\) と \(\triangle {\rm ODE}\) において、
仮定より、
　\({\rm BF=DF}~~~\cdots{\large ①}\)
平行四辺形の対角線はそれぞれの中点で交わるので、
　\({\rm OB=OD}~~~\cdots{\large ②}\)
平行四辺形の定義 \({\rm BC\,//\,AD}\) より、錯角が等しいので、
　\(\angle{\rm OBF}=\angle{\rm ODE}~~~\cdots{\large ③}\)
①、②、③より、２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいから、
　\(\triangle {\rm OBF}\equiv\triangle {\rm ODE}\)
合同な図形では対応する辺の長さは等しいから、
　\({\rm OE=OF}\)
[終]

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【解答】
\({\small (1)}~\)[証明] 対角線 \({\rm AC}\) をひき、\(\triangle {\rm ABC}\) と \(\triangle {\rm ABC}\) において、
仮定より、
　\({\rm AB=CD}~~~\cdots{\large ①}\)
　\({\rm BC=DA}~~~\cdots{\large ②}\)
共通の辺より、
　\({\rm AC=CA}~~~\cdots{\large ③}\)
①、②、③より、３組の辺がそれぞれ等しいから、
　\(\triangle {\rm ABC}\equiv\triangle {\rm CDA}\)
合同な図形では対応する角の大きさは等しいから、
　\(\angle{\rm BAC}=\angle{\rm DCA}~~~\cdots{\large ④}\)
　\(\angle{\rm ACB}=\angle{\rm CAD}~~~\cdots{\large ⑤}\)
④より、錯角が等しいので \({\rm AB\,//\,CD}\)
⑤より、錯角が等しいので \({\rm AD\,//\,BC}\)
対辺がそれぞれ平行であるので、
四角形 \({\rm ABCD}\) は平行四辺形である
[終]

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\({\small (2)}~\)[証明] 辺 \({\rm BC}\) の延長線上の点を \({\rm E}\) とする
四角形の内角の和が \(360^\circ\) より、

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\(~~~\angle{\rm A}+\angle{\rm B}+\angle{\rm C}+\angle{\rm D}=360^\circ\)

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\(\angle{\rm A}=\angle{\rm C}~,~\angle{\rm B}=\angle{\rm D}\) であるので、

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\(\begin{eqnarray}~~~\angle{\rm A}+\angle{\rm B}+\angle{\rm C}+\angle{\rm D}&=&360^\circ\\[2pt]~~~\angle{\rm C}+\angle{\rm D}+\angle{\rm C}+\angle{\rm D}&=&360^\circ\\[2pt]~~~2(\angle{\rm C}+\angle{\rm D})&=&360^\circ\\[2pt]~~~\angle{\rm C}+\angle{\rm D}&=&180^\circ\end{eqnarray}\)

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これより、

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\(~~~\angle{\rm DCE}=180^\circ-\angle{\rm C}=\angle{\rm D}\)

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錯角が等しいので、
　\({\rm AD\,//\,BC}~~~\cdots{\large ①}\)
同様に考えて、
　\({\rm AB\,//\,DC}~~~\cdots{\large ②}\)
①と②より、対辺がそれぞれ平行であるので、
四角形 \({\rm ABCD}\) は平行四辺形である
[終]

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\({\small (3)}~\)[証明] \(\triangle {\rm ABO}\) と \(\triangle {\rm CDO}\) において、
仮定より、
　\({\rm AO=CO}~~~\cdots{\large ①}\)
　\({\rm BO=DO}~~~\cdots{\large ②}\)
対頂角が等しいので、
　\(\angle{\rm AOB}=\angle{\rm COD}~~~\cdots{\large ③}\)
①、②、③より、２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいから、
　\(\triangle {\rm ABO}\equiv\triangle {\rm CDO}\)
合同な図形では対応する角の大きさは等しいから、
　\(\angle{\rm BAO}=\angle{\rm DCO}\)
錯角が等しいので、
　\({\rm AB\,//\,DC}\)
\(\triangle {\rm AOD}\) と \(\triangle {\rm COB}\) でも同様に考えて、
　\({\rm AD\,//\,BC}\)
対辺がそれぞれ平行であるので、
四角形 \({\rm ABCD}\) は平行四辺形である
[終]

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\({\small (4)}~\)[証明] 対角線 \({\rm AC}\) をひき、\(\triangle {\rm ABC}\) と \(\triangle {\rm ABC}\) において、
仮定より、
　\({\rm BC=DA}~~~\cdots{\large ①}\)
\({\rm BC\,//\,AD}\) より、錯角が等しいので、
　\(\angle{\rm ACB}=\angle{\rm CAD}~~~\cdots{\large ②}\)
共通の辺より、
　\({\rm AC=CA}~~~\cdots{\large ③}\)
①、②、③より、２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいから、
　\(\triangle {\rm ABC}\equiv\triangle {\rm CDA}\)
合同な図形では対応する角の大きさは等しいから、
　\(\angle{\rm BAC}=\angle{\rm DCA}\)
錯角が等しいので \({\rm AB\,//\,CD}\)
したがって、対辺がそれぞれ平行であるので、
四角形 \({\rm ABCD}\) は平行四辺形である
[終]

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【解答】
\({\small (1)}~\)四角形 \({\rm ABCD}\) は平行四辺形でない
\({\small (2)}~\)四角形 \({\rm ABCD}\) は平行四辺形である
\({\small (3)}~\)四角形 \({\rm ABCD}\) は平行四辺形である
\({\small (4)}~\)四角形 \({\rm ABCD}\) は平行四辺形でない
\({\small (5)}~\)四角形 \({\rm ABCD}\) は平行四辺形でない
\({\small (6)}~\)四角形 \({\rm ABCD}\) は平行四辺形である

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【解答】
\({\small (1)}~\)[証明] 対角線の交点を \({\rm O}\) として、▱ \({\rm ABCD}\) の対角線がそれぞれの中点で交わるので、
　\({\rm AO=CO}~~~\cdots{\large ①}\)
　\({\rm BO=DO}~~~\cdots{\large ②}\)
仮定より、
　\({\rm BE=DF}~~~\cdots{\large ③}\)
②と③より、$$\begin{eqnarray}~~~{\rm BO-BE}&=&{\rm DO-DF}\\[2pt]~~~{\rm EO}&=&{\rm FO}~~~\cdots{\large ④}\end{eqnarray}$$①と④より、対角線がそれぞれの中点で交わるので、
四角形 \({\rm AECF}\) が平行四辺形となる
[終]

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\({\small (2)}~\)[証明] ▱ \({\rm ABCD}\) の対辺は平行で長さが等しいので、
　\({\rm AD\,//\,BC}~~~\cdots{\large ①}\)
　\({\rm AD=BC}~~~\cdots{\large ②}\)
①より、
　\({\rm AE\,//\,FC}~~~\cdots{\large ③}\)
仮定より、点 \({\rm E~,~F}\) は辺 \({\rm AD~,~BC}\) の中点であるので、$$~~~{\rm AE}=\frac{\,1\,}{\,2\,}{\rm AD}~,~{\rm FC}=\frac{\,1\,}{\,2\,}{\rm BC}$$これと②より、
　\({\rm AE=FC}~~~\cdots{\large ④}\)
③と④より、１組の対辺が等しくて平行であるので、
四角形 \({\rm AFCE}\) が平行四辺形となる
[終]

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\({\small (3)}~\)[証明] ▱ \({\rm ABCD}\) の２組の対角がそれぞれ等しいので、
　\(\angle{\rm EAD}=\angle{\rm FCB}~~~\cdots{\large ①}\)
　\(\angle{\rm ADC}=\angle{\rm CBA}~~~\cdots{\large ②}\)
仮定より、
　\(\angle{\rm AED}=\angle{\rm CFB}~~~\cdots{\large ③}\)
①と③より、三角形の内角の和が \(180^\circ\) であるので、
　\(\angle{\rm ADE}=\angle{\rm CBF}\)
これと②より、
　\(\angle{\rm EDF}=\angle{\rm FBE}~~~\cdots{\large ④}\)
また、③より、
　\(\angle{\rm DEB}=\angle{\rm BFD}~~~\cdots{\large ⑤}\)
④と⑤より、２組の対角がそれぞれ等しいので、
四角形 \({\rm EBFD}\) が平行四辺形となる
[終]

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【解答】
\({\small (1)}~\)[証明] \(\triangle {\rm ABC}\) と \(\triangle {\rm DCB}\) について、
長方形の定義より、
　\(\angle{\rm ABC}=\angle{\rm DCB}~~~\cdots{\large ①}\)
長方形は平行四辺形でもあり、対辺が等しいので、
　\({\rm AB=DC}~~~\cdots{\large ②}\)
共通の辺より、
　\({\rm BC=CB}~~~\cdots{\large ③}\)
①、②、③より、２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、
　\(\triangle {\rm ABC}\equiv\triangle {\rm DCB}\)
合同な図形では対応する辺の長さは等しいから、
　\({\rm AC=DB}\)
したがって、
　\({\rm AC=BD}\)
[終]

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\({\small (2)}~\)[証明] \(\triangle {\rm ABO}\) と \(\triangle {\rm ADO}\) について、
ひし形の定義より、
　\({\rm AB=AD}~~~\cdots{\large ①}\)
ひし形は平行四辺形でもあり、対角線がそれぞれの中点で交わるので、
　\({\rm BO=DO}~~~\cdots{\large ②}\)
共通の辺より、
　\({\rm AO=AO}~~~\cdots{\large ③}\)
①、②、③より、３組の辺がそれぞれ等しいので、
　\(\triangle {\rm ABO}\equiv\triangle {\rm ADO}\)
合同な図形では対応する角の大きさは等しいから、
　\(\angle{\rm BAO}=\angle{\rm DAO}\)
これより、\(\triangle {\rm ABD}\) は二等辺三角形であり、線分 \({\rm AO}\) は \(\angle{\rm A}\) の二等分線である
二等辺三角形の頂角の二等分線は、底辺を垂直に二等分するので、
　\({\rm AO\perp BD}\)
したがって、
　\({\rm AB\perp BD}\)
[終]

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\({\small (3)}~\)
①　\(\angle{\rm A}=\angle{\rm B}~,~{\rm AC=BD}~,~\angle{\rm A}=90^\circ\)
②　\({\rm AB=BC~,~AC\perp BD}\)
③　\({\rm AB=BC~,~AC\perp BD}\)
④　\(\angle{\rm A}=\angle{\rm B}~,~{\rm AC=BD}~,~\angle{\rm A}=90^\circ\)

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【解答】
\({\small (1)}~\)
　\(\triangle {\rm DBE}~,~\triangle {\rm DEC}~,~\triangle {\rm AEC}~,~\triangle {\rm DBF}~,~\)
　\(\triangle {\rm AFD}~,~\triangle {\rm ACF}~,~\triangle {\rm BCF}\)

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\({\small (2)}~\)[証明] \({\rm AD\,//\,BC}\) より、\({\rm BC}\) を底辺とする三角形について、
　\(\triangle {\rm ABC}=\triangle {\rm DBC}\)
ここで、
　\(\triangle {\rm ABC}=\triangle {\rm ABO}+\triangle {\rm OBC}\)
　\(\triangle {\rm DBC}=\triangle {\rm DOC}+\triangle {\rm OBC}\)
\(\triangle {\rm OBC}\) が共通しているので、
　\(\triangle {\rm ABO}=\triangle {\rm DOC}\)
[終]

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\({\small (3)}~\)対角線 \({\rm AC}\) をひき、これに平行で点 \({\rm D}\) を通る直線をひく

この平行線と辺 \({\rm BC}\) の延長線との交点を \({\rm E}\) とする

線分 \({\rm AE}\) をひくと、\({\rm AC\,//\,DE}\) より、
　\(\triangle {\rm ACD}=\triangle {\rm ACE}\)
となるので、

\(\triangle {\rm ABE}\) がもとの四角形 \({\rm ABCD}\) と面積が等しくなる

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\({\small (4)}~\)線分 \({\rm EF}\) をひき、これに平行で点 \({\rm G}\) を通る直線をひく

この平行線と辺 \({\rm BC}\) との交点を \({\rm H}\) とする
\({\rm EH}\) をひくと \({\rm EF\,//\,GH}\) より、
　\(\triangle {\rm EFG}=\triangle {\rm EFH}\)
となる

したがって、
線分 \({\rm EH}\) によって、①と②の面積を変えずに境界線をひきなおせる

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