このページは、日本文教出版：中学数学２
５章 三角形と四角形
５章 三角形と四角形
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日本文教出版中２ １章 式の計算
日本文教出版中２ ２章 連立方程式
日本文教出版中２ ３章 １次関数
日本文教出版中２ ４章 図形の性質と合同
日本文教出版中２ ５章 三角形と四角形
５章 三角形と四角形
１節 三角形
p.135 問2\(\begin{split}~~~\angle x=50^\circ~,~\angle y=80^\circ\end{split}\)
■ 同じタイプの例題解説
» 二等辺三角形の性質
» 二等辺三角形の性質
p.137 問2\({\small (1)}~\)[証明]
\(\triangle {\rm ABC}\) と \(\triangle {\rm ADC}\) において、
仮定より、
\(\begin{split}~~~{\rm AB=AD}~~~\cdots{\large ①}\end{split}\)
\(\begin{split}~~~{\rm CB=CD}~~~\cdots{\large ②}\end{split}\)
また、\({\rm AC}\) は共通 \(~~~\cdots{\large ③}\)
①、②、③より、３組の辺がそれぞれ等しいから
\(\begin{split}~~~\triangle {\rm ABC}\equiv\triangle {\rm ADC}\end{split}\)
合同な図形の対応する角は等しいから
\(\begin{split}~~~\angle {\rm BAC}=\angle {\rm CAD}\end{split}\)
よって、\({\rm AC}\) が \({\rm \angle BAD}\) の二等分線である [終]
\({\small (2)}~\)[証明] \(\triangle {\rm ABD}\) は二等辺三角形で二等辺三角形の頂角の二等分線は底辺を垂直に二等分するので、点 \({\rm E}\) は \({\rm BD}\) の中点である [終]
\(\triangle {\rm ABC}\) と \(\triangle {\rm ADC}\) において、
仮定より、
\(\begin{split}~~~{\rm AB=AD}~~~\cdots{\large ①}\end{split}\)
\(\begin{split}~~~{\rm CB=CD}~~~\cdots{\large ②}\end{split}\)
また、\({\rm AC}\) は共通 \(~~~\cdots{\large ③}\)
①、②、③より、３組の辺がそれぞれ等しいから
\(\begin{split}~~~\triangle {\rm ABC}\equiv\triangle {\rm ADC}\end{split}\)
合同な図形の対応する角は等しいから
\(\begin{split}~~~\angle {\rm BAC}=\angle {\rm CAD}\end{split}\)
よって、\({\rm AC}\) が \({\rm \angle BAD}\) の二等分線である [終]
\({\small (2)}~\)[証明] \(\triangle {\rm ABD}\) は二等辺三角形で二等辺三角形の頂角の二等分線は底辺を垂直に二等分するので、点 \({\rm E}\) は \({\rm BD}\) の中点である [終]
■ 同じタイプの例題解説
» 二等辺三角形の証明
» 二等辺三角形の証明
p.137 問3\(\begin{split}~~~\angle {\rm C}~,~\angle {\rm C}\end{split}\)
■ 同じタイプの例題解説
» 正三角形の性質
» 正三角形の性質
p.139 問1\({\small (1)}~\)\({\rm \angle C}=30^\circ\) となり、二等辺三角形でない
\({\small (2)}~\)\({\rm \angle C}=55^\circ\) となり、\({\rm \angle B=\angle C}\) の二等辺三角形である
\({\small (2)}~\)\({\rm \angle C}=55^\circ\) となり、\({\rm \angle B=\angle C}\) の二等辺三角形である
■ 同じタイプの例題解説
» 二等辺三角形になるための条件
» 二等辺三角形になるための条件
p.139 問2[証明] \(\triangle {\rm ABC}\) 二等辺三角形より、底角が等しいから
\(\begin{split}~~~\angle{\rm B}=\angle{\rm C}~~~\cdots{\large ①}\end{split}\)
ＢＰは角の二等分線より、
\(\begin{split}~~~\angle{\rm PBC}=\angle{\rm B}\times\frac{\,1\,}{\,2\,}\end{split}\)
また、ＣＰは角の二等分線より、
\(\begin{split}~~~\angle{\rm PCB}=\angle{\rm C}\times\frac{\,1\,}{\,2\,}\end{split}\)
よって、①より、
\(\begin{split}~~~\angle{\rm B}\times\frac{\,1\,}{\,2\,}=\angle{\rm C}\times\frac{\,1\,}{\,2\,}\end{split}\)
したがって、
\(\begin{split}~~~\angle{\rm PBC}=\angle{\rm PCB}\end{split}\)
三角形の２つの角が等しいから、\(\triangle {\rm PBC}\) は二等辺三角形となる [終]
\(\begin{split}~~~\angle{\rm B}=\angle{\rm C}~~~\cdots{\large ①}\end{split}\)
ＢＰは角の二等分線より、
\(\begin{split}~~~\angle{\rm PBC}=\angle{\rm B}\times\frac{\,1\,}{\,2\,}\end{split}\)
また、ＣＰは角の二等分線より、
\(\begin{split}~~~\angle{\rm PCB}=\angle{\rm C}\times\frac{\,1\,}{\,2\,}\end{split}\)
よって、①より、
\(\begin{split}~~~\angle{\rm B}\times\frac{\,1\,}{\,2\,}=\angle{\rm C}\times\frac{\,1\,}{\,2\,}\end{split}\)
したがって、
\(\begin{split}~~~\angle{\rm PBC}=\angle{\rm PCB}\end{split}\)
三角形の２つの角が等しいから、\(\triangle {\rm PBC}\) は二等辺三角形となる [終]
■ 同じタイプの例題解説
» 二等辺三角形になるための条件
» 二等辺三角形になるための条件
p.139 問3[証明] \(\triangle {\rm ABC}\) において、
仮定より、
\(\begin{split}~~~\angle{\rm A}=\angle{\rm B}=\angle{\rm C}\end{split}\)
\(\angle{\rm B}=\angle{\rm C}\) より、\(\triangle {\rm ABC}\) は \(\angle{\rm A}\) を頂角とする二等辺三角形となるから
\(\begin{split}~~~{\rm AB=AC}~~~\cdots{\large ①}\end{split}\)
また、\(\angle{\rm A}=\angle{\rm C}\) より、\(\triangle {\rm ABC}\) は \(\angle{\rm B}\) を頂角とする二等辺三角形となるから
\(\begin{split}~~~{\rm BA=BC}~~~\cdots{\large ②}\end{split}\)
①と②より、
\(\begin{split}~~~{\rm AB=BC=AC}\end{split}\)
３辺が等しいので正三角形となる
したがって、３つの角が等しい三角形は正三角形である [終]
仮定より、
\(\begin{split}~~~\angle{\rm A}=\angle{\rm B}=\angle{\rm C}\end{split}\)
\(\angle{\rm B}=\angle{\rm C}\) より、\(\triangle {\rm ABC}\) は \(\angle{\rm A}\) を頂角とする二等辺三角形となるから
\(\begin{split}~~~{\rm AB=AC}~~~\cdots{\large ①}\end{split}\)
また、\(\angle{\rm A}=\angle{\rm C}\) より、\(\triangle {\rm ABC}\) は \(\angle{\rm B}\) を頂角とする二等辺三角形となるから
\(\begin{split}~~~{\rm BA=BC}~~~\cdots{\large ②}\end{split}\)
①と②より、
\(\begin{split}~~~{\rm AB=BC=AC}\end{split}\)
３辺が等しいので正三角形となる
したがって、３つの角が等しい三角形は正三角形である [終]
■ 同じタイプの例題解説
» 二等辺三角形になるための条件
» 二等辺三角形になるための条件
p.140 問1\(\triangle {\rm ABC}\) と \(\triangle {\rm A’B’C’}\) において、
\(\triangle {\rm ABC}\equiv\triangle {\rm A’B’C’}\) ならば
\({\rm AB=A’B’~,~BC=B’C’~,~\angle B=\angle B’}\)
\(\triangle {\rm ABC}\equiv\triangle {\rm A’B’C’}\) ならば
\({\rm AB=A’B’~,~BC=B’C’~,~\angle B=\angle B’}\)
■ 同じタイプの例題解説
» ことがらの逆と反例
» ことがらの逆と反例
p.135 問3\({\small (1)}~\)\(\triangle {\rm ABC}\) と \(\triangle {\rm A’B’C’}\) において、
\(\triangle {\rm ABC}\equiv\triangle {\rm A’B’C’}\) ならば
\({\rm AB=A’B’~,~BC=B’C’~,~\angle B=\angle B’}\)
正しい
\({\small (2)}~\)２つの三角形の面積が等しいならばこの２つの三角形は合同である
正しくない
\({\small (3)}~a+b=7\) ならば \(a=5~,~b=2\)
正しくない
\(a=1~,~b=6\) など
\(\triangle {\rm ABC}\equiv\triangle {\rm A’B’C’}\) ならば
\({\rm AB=A’B’~,~BC=B’C’~,~\angle B=\angle B’}\)
正しい
\({\small (2)}~\)２つの三角形の面積が等しいならばこの２つの三角形は合同である
正しくない
図のような場合、面積は等しいが合同ではない
\({\small (3)}~a+b=7\) ならば \(a=5~,~b=2\)
正しくない
\(a=1~,~b=6\) など
■ 同じタイプの例題解説
» ことがらの逆と反例
» ことがらの逆と反例
p.142 問1[証明] \(\triangle {\rm ABC}\) と \(\triangle {\rm DEF}\) において、
仮定から、
\({\rm AB=DE}~~~\cdots{\large ①}\)
\(\angle{\rm B}=\angle{\rm E}~~~\cdots{\large ②}\)
\(\angle{\rm C}=\angle{\rm F}=90^\circ\) であり、三角形の内角の和が \(180^\circ\) より、
\(\angle{\rm A}=90^\circ-\angle{\rm B}\)
\(\angle{\rm D}=90^\circ-\angle{\rm E}\)
これと②より、
\(\angle{\rm A}=\angle{\rm D}~~~\cdots{\large ③}\)
①、②、③より、１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいから
\(\triangle {\rm ABC}\equiv\triangle {\rm DEF}\) [終]
仮定から、
\({\rm AB=DE}~~~\cdots{\large ①}\)
\(\angle{\rm B}=\angle{\rm E}~~~\cdots{\large ②}\)
\(\angle{\rm C}=\angle{\rm F}=90^\circ\) であり、三角形の内角の和が \(180^\circ\) より、
\(\angle{\rm A}=90^\circ-\angle{\rm B}\)
\(\angle{\rm D}=90^\circ-\angle{\rm E}\)
これと②より、
\(\angle{\rm A}=\angle{\rm D}~~~\cdots{\large ③}\)
①、②、③より、１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいから
\(\triangle {\rm ABC}\equiv\triangle {\rm DEF}\) [終]
■ 同じタイプの例題解説
» 直角三角形の合同条件
» 直角三角形の合同条件
p.143 問2\(\triangle {\rm ABC\equiv\triangle {\rm RQP}}\)
直角三角形の斜辺と他の１辺がそれぞれ等しい
\(\triangle {\rm DEF\equiv\triangle {\rm IGH}}\)
直角三角形の斜辺と１つの鋭角がそれぞれ等しい
直角三角形の斜辺と他の１辺がそれぞれ等しい
\(\triangle {\rm DEF\equiv\triangle {\rm IGH}}\)
直角三角形の斜辺と１つの鋭角がそれぞれ等しい
■ 同じタイプの例題解説
» 直角三角形の合同条件
» 直角三角形の合同条件
p.144 問3[証明]\(\triangle {\rm POA}\) と \(\triangle {\rm POB}\) で、
仮定より、
\(\angle{\rm POA}=\angle{\rm POB}~~~\cdots{\large ①}\)
\(\angle{\rm PAO}=\angle{\rm PBO}=90^\circ~~~\cdots{\large ②}\)
共通の辺より、
\({\rm PO=PO}~~~\cdots{\large ③}\)
①、②、③から、直角三角形の斜辺と１つの鋭角がそれぞれ等しいので、
\(\triangle {\rm POA}\equiv\triangle {\rm POB}\)
合同な図形では、対応する辺が等しいので、
\({\rm PA=PB}\)
[終]
仮定より、
\(\angle{\rm POA}=\angle{\rm POB}~~~\cdots{\large ①}\)
\(\angle{\rm PAO}=\angle{\rm PBO}=90^\circ~~~\cdots{\large ②}\)
共通の辺より、
\({\rm PO=PO}~~~\cdots{\large ③}\)
①、②、③から、直角三角形の斜辺と１つの鋭角がそれぞれ等しいので、
\(\triangle {\rm POA}\equiv\triangle {\rm POB}\)
合同な図形では、対応する辺が等しいので、
\({\rm PA=PB}\)
[終]
■ 同じタイプの例題解説
» 直角三角形の証明
» 直角三角形の証明
p.144 問4[証明]\(\triangle {\rm OPH}\) と \(\triangle {\rm OQH}\) で、
仮定より、
\({\rm OP}={\rm OQ}~~~\cdots{\large ①}\)
\(\angle{\rm OHP}=\angle{\rm OHQ}=90^\circ~~~\cdots{\large ②}\)
共通の辺より、
\({\rm OH=OH}~~~\cdots{\large ③}\)
①、②、③から、直角三角形の斜辺と他の１辺がそれぞれ等しいので、
\(\triangle {\rm OPH}\equiv\triangle {\rm OQH}\)
合同な図形では、対応する角が等しいので、
\({\rm \angle POH=QOH}\)
\(\triangle {\rm OPQ}\) は二等辺三角形で、二等辺三角形の頂角の二等分線は、底辺を垂直に２等分する [終]
仮定より、
\({\rm OP}={\rm OQ}~~~\cdots{\large ①}\)
\(\angle{\rm OHP}=\angle{\rm OHQ}=90^\circ~~~\cdots{\large ②}\)
共通の辺より、
\({\rm OH=OH}~~~\cdots{\large ③}\)
①、②、③から、直角三角形の斜辺と他の１辺がそれぞれ等しいので、
\(\triangle {\rm OPH}\equiv\triangle {\rm OQH}\)
合同な図形では、対応する角が等しいので、
\({\rm \angle POH=QOH}\)
\(\triangle {\rm OPQ}\) は二等辺三角形で、二等辺三角形の頂角の二等分線は、底辺を垂直に２等分する [終]
■ 同じタイプの例題解説
» 直角三角形の証明
» 直角三角形の証明
基本の問題
p.145 基本の問題 1\(\begin{split}~~~\angle x=40^\circ~,~\angle y=50^\circ\end{split}\)
■ 同じタイプの例題解説
» 二等辺三角形の性質
» 二等辺三角形の性質
p.145 基本の問題 2[証明] \(\triangle {\rm ABC}\) と \(\triangle {\rm DCB}\) において、
仮定より、
\(\begin{split}~~~{\rm AB=DC}~~~\cdots{\large ①}\end{split}\)
\(\begin{split}~~~{\rm AC=DB}~~~\cdots{\large ②}\end{split}\)
共通の辺より、
\(\begin{split}~~~{\rm BC=CB}~~~\cdots{\large ③}\end{split}\)
①、②、③より、３組の辺がそれぞれ等しいから
\(\begin{split}~~~\triangle {\rm ABC}\equiv\triangle {\rm DCB}\end{split}\)
合同な図形の対応する角は等しいから
\(\begin{split}~~~\angle {\rm ACB}=\angle {\rm DBC}\end{split}\)
よって、２つの底角が等しいので、\(\triangle {\rm EBC}\) は二等辺三角形である [終]
仮定より、
\(\begin{split}~~~{\rm AB=DC}~~~\cdots{\large ①}\end{split}\)
\(\begin{split}~~~{\rm AC=DB}~~~\cdots{\large ②}\end{split}\)
共通の辺より、
\(\begin{split}~~~{\rm BC=CB}~~~\cdots{\large ③}\end{split}\)
①、②、③より、３組の辺がそれぞれ等しいから
\(\begin{split}~~~\triangle {\rm ABC}\equiv\triangle {\rm DCB}\end{split}\)
合同な図形の対応する角は等しいから
\(\begin{split}~~~\angle {\rm ACB}=\angle {\rm DBC}\end{split}\)
よって、２つの底角が等しいので、\(\triangle {\rm EBC}\) は二等辺三角形である [終]
■ 同じタイプの例題解説
» 二等辺三角形になるための条件
» 二等辺三角形になるための条件
p.145 基本の問題 3\({\small (1)}~\)\(\angle a=\angle b\) ならば \(l\,//\, m\)
\({\small (2)}~\)正しい
\({\small (2)}~\)正しい
■ 同じタイプの例題解説
» ことがらの逆と反例
» ことがらの逆と反例
p.145 基本の問題 4[証明]\(\triangle {\rm DBM}\) と \(\triangle {\rm ECM}\) で、
仮定より、
\({\rm MD}={\rm ME}~~~\cdots{\large ①}\)
\({\rm BM}={\rm CM}~~~\cdots{\large ②}\)
\(\angle{\rm MDB}=\angle{\rm MEC}=90^\circ~~~\cdots{\large ③}\)
①、②、③から、直角三角形の斜辺と他の１辺がそれぞれ等しいので、
\(\triangle {\rm DBM}\equiv\triangle {\rm ECM}\)
合同な図形では、対応する角が等しいので、
\({\rm \angle DBM=ECM}\)
よって、２つの底角が等しいので \(\triangle {\rm ABC}\) は二等辺三角形である [終]
仮定より、
\({\rm MD}={\rm ME}~~~\cdots{\large ①}\)
\({\rm BM}={\rm CM}~~~\cdots{\large ②}\)
\(\angle{\rm MDB}=\angle{\rm MEC}=90^\circ~~~\cdots{\large ③}\)
①、②、③から、直角三角形の斜辺と他の１辺がそれぞれ等しいので、
\(\triangle {\rm DBM}\equiv\triangle {\rm ECM}\)
合同な図形では、対応する角が等しいので、
\({\rm \angle DBM=ECM}\)
よって、２つの底角が等しいので \(\triangle {\rm ABC}\) は二等辺三角形である [終]
■ 同じタイプの例題解説
» 直角三角形の証明
» 直角三角形の証明
２節 平行四辺形
p.147 問2\(\triangle {\rm ABC}\equiv\triangle {\rm CDA}\) より、合同な図形では、対応する辺や角が等しいので、
\(\angle{\rm B}=\angle{\rm D}~,~{\rm AB=CD}~,~{\rm BC=DA}\)
\(\angle{\rm B}=\angle{\rm D}~,~{\rm AB=CD}~,~{\rm BC=DA}\)
■ 同じタイプの例題解説
» 平行四辺形の証明
» 平行四辺形の証明
p.147 問3[証明] \(\triangle {\rm ABO}\) と \(\triangle {\rm CDO}\) において、
平行四辺形では、２組の対辺はそれぞれ等しいから
\(\begin{split}~~~{\rm AB=CD}~~~\cdots{\large ①}\end{split}\)
また、平行線の錯角が等しいから、\({\rm AB \,//\, DC}\) より、
\(\begin{split}~~~\angle{\rm BAO}=\angle{\rm DCO}~~~\cdots{\large ②}\end{split}\)
\(\begin{split}~~~\angle{\rm ABO}=\angle{\rm CDO}~~~\cdots{\large ③}\end{split}\)
①、②、③より、１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいから
\(\begin{split}~~~\triangle {\rm ABO}\equiv\triangle {\rm CDO}\end{split}\)
合同な図形の対応する辺は等しいから、
\(\begin{split}~~~{\rm AO=CO~,~BO=DO}\end{split}\)
したがって、平行四辺形では、対角線はそれぞれの中点で交わる [終]
平行四辺形では、２組の対辺はそれぞれ等しいから
\(\begin{split}~~~{\rm AB=CD}~~~\cdots{\large ①}\end{split}\)
また、平行線の錯角が等しいから、\({\rm AB \,//\, DC}\) より、
\(\begin{split}~~~\angle{\rm BAO}=\angle{\rm DCO}~~~\cdots{\large ②}\end{split}\)
\(\begin{split}~~~\angle{\rm ABO}=\angle{\rm CDO}~~~\cdots{\large ③}\end{split}\)
①、②、③より、１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいから
\(\begin{split}~~~\triangle {\rm ABO}\equiv\triangle {\rm CDO}\end{split}\)
合同な図形の対応する辺は等しいから、
\(\begin{split}~~~{\rm AO=CO~,~BO=DO}\end{split}\)
したがって、平行四辺形では、対角線はそれぞれの中点で交わる [終]
■ 同じタイプの例題解説
» 平行四辺形の証明
» 平行四辺形の証明
p.147 問4\({\small (1)}~\angle x=110^\circ~,~\angle y=70^\circ\)
\({\small (2)}~x=5~{\rm cm}~,~y=8~{\rm cm}\)
\({\small (2)}~x=5~{\rm cm}~,~y=8~{\rm cm}\)
■ 同じタイプの例題解説
» 平行四辺形の性質
» 平行四辺形の性質
p.147 問5[証明] \(\triangle {\rm AOM}\) と \(\triangle {\rm CON}\) において、
対頂角は等しいから、
\(\angle{\rm AON}=\angle{\rm CON}~~~\cdots{\large ①}\)
四角形 \({\rm ABCD}\) は平行四辺形より、平行線の錯角が等しいから、
\(\angle{\rm OAM}=\angle{\rm OCN}~~~\cdots{\large ②}\)
平行四辺形の対角線はそれぞれの中点で交わるから、
\({\rm OA=OC}~~~\cdots{\large ③}\)
①、②、③より、１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいから
\(\triangle {\rm AOM}\equiv\triangle {\rm CON}\)
合同な図形では対応する辺の長さが等しいから、
\({\rm MO=NO}\)
[終]
※ \(\triangle {\rm DOM}\) と \(\triangle {\rm BON}\) でも同様に証明できる。
対頂角は等しいから、
\(\angle{\rm AON}=\angle{\rm CON}~~~\cdots{\large ①}\)
四角形 \({\rm ABCD}\) は平行四辺形より、平行線の錯角が等しいから、
\(\angle{\rm OAM}=\angle{\rm OCN}~~~\cdots{\large ②}\)
平行四辺形の対角線はそれぞれの中点で交わるから、
\({\rm OA=OC}~~~\cdots{\large ③}\)
①、②、③より、１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいから
\(\triangle {\rm AOM}\equiv\triangle {\rm CON}\)
合同な図形では対応する辺の長さが等しいから、
\({\rm MO=NO}\)
[終]
※ \(\triangle {\rm DOM}\) と \(\triangle {\rm BON}\) でも同様に証明できる。
■ 同じタイプの例題解説
» 平行四辺形の証明
» 平行四辺形の証明
p.149 問2\({\small (1)}~\)[証明] \(\triangle {\rm ABO}\) と \(\triangle {\rm CDO}\) において、
仮定より、
\(\begin{split}~~~{\rm AO=CO}~~~\cdots{\large ①}\end{split}\)
\(\begin{split}~~~{\rm BO=DO}~~~\cdots{\large ②}\end{split}\)
対頂角は等しいから
\(\begin{split}~~~\angle{\rm AOB}=\angle{\rm COD}~~~\cdots{\large ③}\end{split}\)
①、②、③より、２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいから、
\(\begin{split}~~~\triangle {\rm ABO}\equiv\triangle {\rm CDO}\end{split}\) [終]
\({\small (2)}~\)合同な図形の対応する角は等しいから、
\(\begin{split}~~~\angle{\rm ABO}=\angle{\rm CDO}\end{split}\)
錯角が等しいから、
\(\begin{split}~~~{\rm AB \,//\, DC}~~~\cdots{\large ④}\end{split}\)
\({\small (3)}~\)\(\triangle {\rm AOD}\) と \(\triangle {\rm COB}\) においても同様にすると、
\(\begin{split}~~~{\rm AD \,//\, BC}~~~\cdots{\large ⑤}\end{split}\)
④、⑤より、この四角形は平行四辺形である
したがって、対角線がそれぞれの中点で交わる四角形は、平行四辺形である
仮定より、
\(\begin{split}~~~{\rm AO=CO}~~~\cdots{\large ①}\end{split}\)
\(\begin{split}~~~{\rm BO=DO}~~~\cdots{\large ②}\end{split}\)
対頂角は等しいから
\(\begin{split}~~~\angle{\rm AOB}=\angle{\rm COD}~~~\cdots{\large ③}\end{split}\)
①、②、③より、２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいから、
\(\begin{split}~~~\triangle {\rm ABO}\equiv\triangle {\rm CDO}\end{split}\) [終]
\({\small (2)}~\)合同な図形の対応する角は等しいから、
\(\begin{split}~~~\angle{\rm ABO}=\angle{\rm CDO}\end{split}\)
錯角が等しいから、
\(\begin{split}~~~{\rm AB \,//\, DC}~~~\cdots{\large ④}\end{split}\)
\({\small (3)}~\)\(\triangle {\rm AOD}\) と \(\triangle {\rm COB}\) においても同様にすると、
\(\begin{split}~~~{\rm AD \,//\, BC}~~~\cdots{\large ⑤}\end{split}\)
④、⑤より、この四角形は平行四辺形である
したがって、対角線がそれぞれの中点で交わる四角形は、平行四辺形である
■ 同じタイプの例題解説
» 平行四辺形になるための条件
» 平行四辺形になるための条件
p.149 問2 ア、ウ
■ 同じタイプの例題解説
» 平行四辺形になるための条件
» 平行四辺形になるための条件
p.151 問1
点 \(\rm A\) を通り \(\rm BC\) に平行な直線上に、 \(\rm AB=DC\) となる点 \(\rm D\) をとると、２通り点 \(\rm D\) がとれて１つは平行四辺形とならない
■ 同じタイプの例題解説
» 平行四辺形になるための条件
» 平行四辺形になるための条件
p.152 問2 \({\rm BC~,~BC~,~EF~,~EF}\)
\({\rm AD\,//\,EF~,~AD=EF}\)
１組の対辺が平行で長さが等しい
\({\rm AD\,//\,EF~,~AD=EF}\)
１組の対辺が平行で長さが等しい
■ 同じタイプの例題解説
» 図形の中の平行四辺形
» 図形の中の平行四辺形
p.152 問3\({\small (1)}~\)四角形 \({\rm ACED~,~ABFC~,~BFED}\)
\({\small (2)}~\)
四角形 \({\rm ACED}\) は、
\({\rm AD\,//\,CE~,~AD=CE}\) より、１組の対辺が平行で長さが等しいので平行四辺形
四角形 \({\rm ABFC}\) は、
\({\rm AB\,//\,CF~,~AB=CF}\) より、１組の対辺が平行で長さが等しいので平行四辺形
四角形 \({\rm BFED}\) は、
\({\rm BC=EC~,~DC=DF}\) より、対角線がそれぞれの中点で交わるので平行四辺形
\({\small (2)}~\)
四角形 \({\rm ACED}\) は、
\({\rm AD\,//\,CE~,~AD=CE}\) より、１組の対辺が平行で長さが等しいので平行四辺形
四角形 \({\rm ABFC}\) は、
\({\rm AB\,//\,CF~,~AB=CF}\) より、１組の対辺が平行で長さが等しいので平行四辺形
四角形 \({\rm BFED}\) は、
\({\rm BC=EC~,~DC=DF}\) より、対角線がそれぞれの中点で交わるので平行四辺形
■ 同じタイプの例題解説
» 図形の中の平行四辺形
» 図形の中の平行四辺形
p.152 問4[証明] 対角線 \({\rm BD}\) を引くと、\({\rm AB\,//\,DC}\) より、錯角が等しいから、
\(\angle{\rm ABD}=\angle{\rm CDB}~~~\cdots{\large ①}\)
また、
\(\angle{\rm ADB}=180^\circ-(\angle{\rm A}+\angle{\rm ABD})\)
\(\angle{\rm CBD}=180^\circ-(\angle{\rm C}+\angle{\rm CDB})\)
仮定 \(\angle{\rm A}=\angle{\rm C}\) と①より、
\(\angle{\rm ADB}=\angle{\rm CBD}\)
錯角が等しいので、
\({\rm AD\,//\,BC}\)
２組の対辺がそれぞれ平行であるので、四角形 \({\rm ABCD}\) は平行四辺形である [終]
\(\angle{\rm ABD}=\angle{\rm CDB}~~~\cdots{\large ①}\)
また、
\(\angle{\rm ADB}=180^\circ-(\angle{\rm A}+\angle{\rm ABD})\)
\(\angle{\rm CBD}=180^\circ-(\angle{\rm C}+\angle{\rm CDB})\)
仮定 \(\angle{\rm A}=\angle{\rm C}\) と①より、
\(\angle{\rm ADB}=\angle{\rm CBD}\)
錯角が等しいので、
\({\rm AD\,//\,BC}\)
２組の対辺がそれぞれ平行であるので、四角形 \({\rm ABCD}\) は平行四辺形である [終]
■ 同じタイプの例題解説
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p.153 問1\({\small (1)}~\)ひし形は４つの辺がすべて等しいから、「２組の対辺がそれぞれ等しい」
よって、平行四辺形である
\({\small (2)}~\)正方形は４つの辺がすべて等しいから、「２組の対辺がそれぞれ等しい」
よって、平行四辺形である
※ ４つの角でもよい
\({\small (3)}~\)正方形は４つの角がすべて等しいから、長方形である
\({\small (4)}~\)正方形は４つの辺がすべて等しいから、ひし形である
よって、平行四辺形である
\({\small (2)}~\)正方形は４つの辺がすべて等しいから、「２組の対辺がそれぞれ等しい」
よって、平行四辺形である
※ ４つの角でもよい
\({\small (3)}~\)正方形は４つの角がすべて等しいから、長方形である
\({\small (4)}~\)正方形は４つの辺がすべて等しいから、ひし形である
■ 同じタイプの例題解説
» 特別な平行四辺形
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p.154 問2[証明] \(\triangle {\rm ABC}\) と \(\triangle {\rm DCB}\) において、
長方形の４つの角はすべて等しいので、
\(\angle{\rm ABC}=\angle{\rm DCB}~~~\cdots{\large ①}\)
長方形は平行四辺形であり、２組の向かいあう辺が等しいので、
\({\rm AB=DC}~~~\cdots{\large ②}\)
共通の辺より、
\({\rm BC=CB}~~~\cdots{\large ③}\)
①、②、③より、２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいから
\(\triangle {\rm ABC}\equiv\triangle {\rm DCB}\)
合同な図形では、対応する辺が等しいので、
\({\rm AC=DB}\)
したがって、長方形の対角線の長さは等しい [終]
長方形の４つの角はすべて等しいので、
\(\angle{\rm ABC}=\angle{\rm DCB}~~~\cdots{\large ①}\)
長方形は平行四辺形であり、２組の向かいあう辺が等しいので、
\({\rm AB=DC}~~~\cdots{\large ②}\)
共通の辺より、
\({\rm BC=CB}~~~\cdots{\large ③}\)
①、②、③より、２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいから
\(\triangle {\rm ABC}\equiv\triangle {\rm DCB}\)
合同な図形では、対応する辺が等しいので、
\({\rm AC=DB}\)
したがって、長方形の対角線の長さは等しい [終]
■ 同じタイプの例題解説
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p.154 問3[証明] 対角線の交点を \({\rm O}\) として、
\(\triangle {\rm ABO}\) と \(\triangle {\rm ADO}\) について、
ひし形の４つの辺はすべて等しいので、
\({\rm AB=AD}~~~\cdots{\large ①}\)
ひし形は平行四辺形であり、対角線はそれぞれの中点で交わるので、
\({\rm BO=DO}~~~\cdots{\large ②}\)
共通の辺より、
\({\rm AO=AO}~~~\cdots{\large ③}\)
①、②、③より、３組の辺がそれぞれ等しいから
\(\triangle {\rm ABO}\equiv\triangle {\rm ADO}\)
合同な図形では、対応する角の大きさが等しいので、
\(\angle{\rm BAO}=\angle{\rm DAO}\)
ここで、\(\triangle {\rm ABD}\) は二等辺三角形で \({\rm AO}\) は \(\angle{\rm BAD}\) の二等分線であるので、
直線 \({\rm AO}\) な辺 \({\rm BC}\) を垂直に二等分する
したがって、ひし形の対角線は垂直に交わる [終]
\(\triangle {\rm ABO}\) と \(\triangle {\rm ADO}\) について、
ひし形の４つの辺はすべて等しいので、
\({\rm AB=AD}~~~\cdots{\large ①}\)
ひし形は平行四辺形であり、対角線はそれぞれの中点で交わるので、
\({\rm BO=DO}~~~\cdots{\large ②}\)
共通の辺より、
\({\rm AO=AO}~~~\cdots{\large ③}\)
①、②、③より、３組の辺がそれぞれ等しいから
\(\triangle {\rm ABO}\equiv\triangle {\rm ADO}\)
合同な図形では、対応する角の大きさが等しいので、
\(\angle{\rm BAO}=\angle{\rm DAO}\)
ここで、\(\triangle {\rm ABD}\) は二等辺三角形で \({\rm AO}\) は \(\angle{\rm BAD}\) の二等分線であるので、
直線 \({\rm AO}\) な辺 \({\rm BC}\) を垂直に二等分する
したがって、ひし形の対角線は垂直に交わる [終]
■ 同じタイプの例題解説
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p.154 問4 長さが等しく、垂直に交わる
■ 同じタイプの例題解説
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p.155 問5\({\small (1)}~\)イ、ウ \({\small (2)}~\)ア、エ
\({\small (3)}~\)ア、エ \({\small (4)}~\)イ、ウ
\({\small (3)}~\)ア、エ \({\small (4)}~\)イ、ウ
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p.156 問1 \(\triangle {\rm DBC}~,~\triangle {\rm OBC}~,~\triangle {\rm OBC}\)
■ 同じタイプの例題解説
» 平行線と面積
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p.157 問2 \(\triangle {\rm ABM}\) と \(\triangle {\rm AMC}\)
\(\triangle {\rm PBM}\) と \(\triangle {\rm PMC}\)
\(\triangle {\rm ABP}\) と \(\triangle {\rm APC}\)
\(\triangle {\rm PBM}\) と \(\triangle {\rm PMC}\)
\(\triangle {\rm ABP}\) と \(\triangle {\rm APC}\)
■ 同じタイプの例題解説
» 平行線と面積
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p.157 問3\({\small (1)}~\)\({\rm AC\,//\,DE}\) より、
\(\triangle {\rm DAC}=\triangle {\rm EAC}\)
\({\small (2)}~\)四角形 \({\rm ABCD}=\triangle {\rm ABC}+\triangle {\rm DAC}\)
\(\triangle {\rm ABE}=\triangle {\rm ABC}+\triangle {\rm EAC}\)
であるので、
四角形 \({\rm ABCD}\) と \(\triangle {\rm ABE}\) の面積は等しい
\(\triangle {\rm DAC}=\triangle {\rm EAC}\)
\({\small (2)}~\)四角形 \({\rm ABCD}=\triangle {\rm ABC}+\triangle {\rm DAC}\)
\(\triangle {\rm ABE}=\triangle {\rm ABC}+\triangle {\rm EAC}\)
であるので、
四角形 \({\rm ABCD}\) と \(\triangle {\rm ABE}\) の面積は等しい
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» 平行線と面積
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p.157 問4\({\small (1)}~\)
\({\small (2)}~\)
四角形 \({\rm AFDE}\) がもとの五角形と面積が等しい
\({\small (2)}~\)
\(\triangle {\rm AFG}\) がもとの五角形と面積が等しい
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基本の問題
p.158 基本の問題 1[証明] \(\triangle {\rm ABE}\) と \(\triangle {\rm CDF}\) において、
仮定より、
\(\begin{split}~~~{\rm AB=CD}~~~\cdots{\large ①}\end{split}\)
\(\begin{split}~~~{\rm AE=CF}~~~\cdots{\large ②}\end{split}\)
錯角が等しいから
\(\begin{split}~~~\angle{\rm BAE}=\angle{\rm DCF}~~~\cdots{\large ③}\end{split}\)
①、②、③より、２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいから、
\(\begin{split}~~~\triangle {\rm ABE}\equiv\triangle {\rm CDF}\end{split}\)
合同な図形の対応する辺は等しいから、
\(\begin{split}~~~{\rm BE=DF}\end{split}\) [終]
仮定より、
\(\begin{split}~~~{\rm AB=CD}~~~\cdots{\large ①}\end{split}\)
\(\begin{split}~~~{\rm AE=CF}~~~\cdots{\large ②}\end{split}\)
錯角が等しいから
\(\begin{split}~~~\angle{\rm BAE}=\angle{\rm DCF}~~~\cdots{\large ③}\end{split}\)
①、②、③より、２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいから、
\(\begin{split}~~~\triangle {\rm ABE}\equiv\triangle {\rm CDF}\end{split}\)
合同な図形の対応する辺は等しいから、
\(\begin{split}~~~{\rm BE=DF}\end{split}\) [終]
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» 平行四辺形の証明
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p.158 基本の問題 2[証明] \(\triangle {\rm AOD}\) と \(\triangle {\rm COB}\) において、
仮定より、
\(\begin{split}~~~{\rm BO=DO}~~~\cdots{\large ①}\end{split}\)
錯角が等しいから
\(\begin{split}~~~\angle{\rm ADO}=\angle{\rm CBO}~~~\cdots{\large ②}\end{split}\)
対頂角が等しいから
\(\begin{split}~~~\angle{\rm AOD}=\angle{\rm COB}~~~\cdots{\large ③}\end{split}\)
①、②、③より、１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいから、
\(\begin{split}~~~\triangle {\rm AOD}\equiv\triangle {\rm COB}\end{split}\)
合同な図形の対応する辺は等しいから、
\(\begin{split}~~~{\rm AO=CO}\end{split}\)
これと①より、対角線がそれぞれの中点で交わるので、四角形 \({\rm ABCD}\) は平行四辺形である [終]
仮定より、
\(\begin{split}~~~{\rm BO=DO}~~~\cdots{\large ①}\end{split}\)
錯角が等しいから
\(\begin{split}~~~\angle{\rm ADO}=\angle{\rm CBO}~~~\cdots{\large ②}\end{split}\)
対頂角が等しいから
\(\begin{split}~~~\angle{\rm AOD}=\angle{\rm COB}~~~\cdots{\large ③}\end{split}\)
①、②、③より、１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいから、
\(\begin{split}~~~\triangle {\rm AOD}\equiv\triangle {\rm COB}\end{split}\)
合同な図形の対応する辺は等しいから、
\(\begin{split}~~~{\rm AO=CO}\end{split}\)
これと①より、対角線がそれぞれの中点で交わるので、四角形 \({\rm ABCD}\) は平行四辺形である [終]
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» 平行四辺形になるための条件
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p.158 基本の問題 3 ア、イ
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p.158 基本の問題 4 \(\triangle {\rm ACE}~,~\triangle {\rm ACF}~,~\triangle {\rm BCF}\)
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