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1章 [多項式]文字式を使って説明しよう
2章 [平方根]数の世界をさらにひろげよう
3章 [2次方程式]方程式を利用して問題を解決しよう
4章 [関数 y=ax²]関数の世界をひろげよう
5章 [相似な図形]形に着目して図形の性質を調べよう
6章 [円]円の性質を見つけて説明しよう
7章 [三平方の定理]三平方の定理を活用しよう
8章 [標本調査]集合全体の傾向を推測しよう
5章 [相似な図形]形に着目して図形の性質を調べよう
1節 相似な図形
1 相似な図形
p.131 問1
① BCは4マスなので、EFを12マスとる
② CからAまで左1マス上2マスなので、FからDまで左3マス上6マスとる
③ 3点を結ぶ$$~~~{\rm DE=3AB~,~EF=3BC~,~DF=3AC}$$$$~~~\angle{\rm D}=\angle{\rm A}~,~\angle{\rm E}=\angle{\rm B}~,~\angle{\rm F}=\angle{\rm C}$$
① BCは4マスなので、EFを12マスとる
② CからAまで左1マス上2マスなので、FからDまで左3マス上6マスとる
③ 3点を結ぶ$$~~~{\rm DE=3AB~,~EF=3BC~,~DF=3AC}$$$$~~~\angle{\rm D}=\angle{\rm A}~,~\angle{\rm E}=\angle{\rm B}~,~\angle{\rm F}=\angle{\rm C}$$
■ 同じタイプの例題解説
» 相似な図形と相似比
» 相似な図形と相似比
p.131 問2\(~~~3\) 倍
■ 同じタイプの例題解説
» 相似な図形と相似比
» 相似な図形と相似比
p.132 問3\(~~~1~:~2\)
■ 同じタイプの例題解説
» 相似な図形と相似比
» 相似な図形と相似比
p.132 問4\(~~~\)合同
■ 同じタイプの例題解説
» 相似な図形と相似比
» 相似な図形と相似比
p.133 問5
① 直線BO、COを引く
② OからBOの長さの2倍の距離に点Eをとる
次に、OからCOの長さの2倍の距離に点Fをとる
③ 3点D、E、Fを結ぶ
① 直線BO、COを引く
② OからBOの長さの2倍の距離に点Eをとる
次に、OからCOの長さの2倍の距離に点Fをとる
③ 3点D、E、Fを結ぶ
■ 同じタイプの例題解説
» 相似の位置
» 相似の位置
p.133 問6
① 点Oを内部にとる
(外部でもよいが、内部の方がわかりやすい)
② OA、OB、OC、ODを結ぶ
③ OA、OB、OC、ODのそれぞれの中点をE、F、G、Hとする
④ その4点を結ぶ
① 点Oを内部にとる
(外部でもよいが、内部の方がわかりやすい)
② OA、OB、OC、ODを結ぶ
③ OA、OB、OC、ODのそれぞれの中点をE、F、G、Hとする
④ その4点を結ぶ
■ 同じタイプの例題解説
» 相似の位置
» 相似の位置
p.134 問7$$~~~{\rm AB}=9~{\rm cm}~,~{\rm EH}=10~{\rm cm}$$
■ 同じタイプの例題解説
» 相似な図形と相似比
» 相似な図形と相似比
p.134 問8$$~~~{\rm AC}=2.3~{\rm cm}$$
■ 同じタイプの例題解説
» 相似な図形と相似比
» 相似な図形と相似比
2 三角形の相似条件
p.137 問1\(\triangle {\rm ABC}∽\triangle {\rm QRP}\)
\(~~~\)2組の角がそれぞれ等しい
\(\triangle {\rm DEF}∽\triangle {\rm TSU}\)
\(~~~\)2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい
\(\triangle {\rm IGH}∽\triangle {\rm JLK}\)
\(~~~\)3組の辺の比がそれぞれ等しい
\(~~~\)2組の角がそれぞれ等しい
\(\triangle {\rm DEF}∽\triangle {\rm TSU}\)
\(~~~\)2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい
\(\triangle {\rm IGH}∽\triangle {\rm JLK}\)
\(~~~\)3組の辺の比がそれぞれ等しい
■ 同じタイプの例題解説
» 三角形の相似条件
» 三角形の相似条件
p.137 問2\({\small (1)}~\triangle {\rm ABC}∽\triangle {\rm ADE}\)
\(~~~\)2組の角がそれぞれ等しい
\({\small (2)}~\triangle {\rm ABC}∽\triangle {\rm DEC}\)
\(~~~\)2組の角がそれぞれ等しい
\({\small (3)}~\triangle {\rm ABE}∽\triangle {\rm DCE}\)
\(~~~\)2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい
\(~~~\)2組の角がそれぞれ等しい
\({\small (2)}~\triangle {\rm ABC}∽\triangle {\rm DEC}\)
\(~~~\)2組の角がそれぞれ等しい
\({\small (3)}~\triangle {\rm ABE}∽\triangle {\rm DCE}\)
\(~~~\)2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい
■ 同じタイプの例題解説
» 相似な三角形
» 相似な三角形
p.138 問3[証明] \(\triangle {\rm ABC}\) と \(\triangle {\rm DAC}\) において、
仮定より、$$~~~\angle{\rm BAC}=\angle{\rm ADC}~~~\cdots{\large ①}$$また、\(\angle {\rm C}\) は共通 \(~~~\cdots{\large ②}\)
①、②より、2組の角がそれぞれ等しいから、$$~~~\triangle {\rm ABC}∽\triangle {\rm DAC}$$[終]
仮定より、$$~~~\angle{\rm BAC}=\angle{\rm ADC}~~~\cdots{\large ①}$$また、\(\angle {\rm C}\) は共通 \(~~~\cdots{\large ②}\)
①、②より、2組の角がそれぞれ等しいから、$$~~~\triangle {\rm ABC}∽\triangle {\rm DAC}$$[終]
■ 同じタイプの例題解説
» 相似の証明
» 相似の証明
p.138 問4\({\small (1)}~\)[証明] \(\triangle {\rm DAB}\) と \(\triangle {\rm DAC}\) において、
仮定より、$$~~~\angle{\rm BDA}=\angle{\rm CDA}=90^\circ~~~\cdots{\large ①}$$次に、\(\angle{\rm BDA}=90^\circ\) より、$$~~~\angle{\rm DBA}=90^\circ-\angle{\rm DAB}\cdots{\large ②}$$また、\(\angle{\rm DAB}+\angle{\rm DAC}=90^\circ\) より、$$~~~\angle{\rm DAC}=90^\circ-\angle{\rm DAB}\cdots{\large ③}$$よって、②と③より、$$~~~\angle{\rm DBA}=\angle{\rm DAC}~~~\cdots{\large ④}$$①と④より、2組の角がそれぞれ等しいから、$$~~~\triangle {\rm DBA}∽\triangle {\rm DAC}$$[終]
\({\small (2)}~\)相似な図形の対応する辺の比は等しいから、$$~~~{\rm AD~:~CD=BD~:~AD}$$
仮定より、$$~~~\angle{\rm BDA}=\angle{\rm CDA}=90^\circ~~~\cdots{\large ①}$$次に、\(\angle{\rm BDA}=90^\circ\) より、$$~~~\angle{\rm DBA}=90^\circ-\angle{\rm DAB}\cdots{\large ②}$$また、\(\angle{\rm DAB}+\angle{\rm DAC}=90^\circ\) より、$$~~~\angle{\rm DAC}=90^\circ-\angle{\rm DAB}\cdots{\large ③}$$よって、②と③より、$$~~~\angle{\rm DBA}=\angle{\rm DAC}~~~\cdots{\large ④}$$①と④より、2組の角がそれぞれ等しいから、$$~~~\triangle {\rm DBA}∽\triangle {\rm DAC}$$[終]
\({\small (2)}~\)相似な図形の対応する辺の比は等しいから、$$~~~{\rm AD~:~CD=BD~:~AD}$$
■ 同じタイプの例題解説
» 相似の証明
» 相似の証明
p.138 問5[証明] \(\triangle {\rm ABD}\) と \(\triangle {\rm ACE}\) において、
仮定より、$$~~~\angle{\rm ADB}=\angle{\rm AEC}=90^\circ~~~\cdots{\large ①}$$また、\(\angle {\rm A}\) は共通 \(~~~\cdots{\large ②}\)
①、②より、2組の角がそれぞれ等しいから、$$~~~\triangle {\rm ABD}∽\triangle {\rm ACE}$$[終]
仮定より、$$~~~\angle{\rm ADB}=\angle{\rm AEC}=90^\circ~~~\cdots{\large ①}$$また、\(\angle {\rm A}\) は共通 \(~~~\cdots{\large ②}\)
①、②より、2組の角がそれぞれ等しいから、$$~~~\triangle {\rm ABD}∽\triangle {\rm ACE}$$[終]
■ 同じタイプの例題解説
» 相似の証明
» 相似の証明
3 相似の利用
p.140 問1\(~~~15~{\rm m}\)
■ 同じタイプの例題解説
» 縮図の利用
» 縮図の利用
p.141 問2\(~~~115≦a< 125\)
p.141 問3\(~~~1.50\times 10^3~{\rm m}\)
2節 平行線と比
1 三角形と比
p.144 問1\({\small (1)}~\)[証明] \(\triangle {\rm ADE}\) と \(\triangle {\rm ABC}\) において、
\({\rm DE \,//\, BC}\) より、平行線の同位角は等しいから、$$~~~\angle{\rm ADE}=\angle{\rm ABC}~~~\cdots{\large ①}$$また、\(\angle {\rm A}\) は共通 \(~~~\cdots{\large ②}\)
①、②より、2組の角がそれぞれ等しいから、$$~~~\triangle {\rm ADE}∽\triangle {\rm ABC}$$[終]
\({\small (2)}~{\rm AE:AC~,~DE:BC}\)
\({\rm DE \,//\, BC}\) より、平行線の同位角は等しいから、$$~~~\angle{\rm ADE}=\angle{\rm ABC}~~~\cdots{\large ①}$$また、\(\angle {\rm A}\) は共通 \(~~~\cdots{\large ②}\)
①、②より、2組の角がそれぞれ等しいから、$$~~~\triangle {\rm ADE}∽\triangle {\rm ABC}$$[終]
\({\small (2)}~{\rm AE:AC~,~DE:BC}\)
■ 同じタイプの例題解説
» 三角形と線分の比
» 三角形と線分の比
p.145 問2$${\small (1)}~{\rm AE}=12~{\rm cm}$$$${\small (2)}~{\rm AD:DB}=2:1$$$$~~~~~{\rm AE:EC}=2:1$$
■ 同じタイプの例題解説
» 三角形と線分の比
» 三角形と線分の比
p.145 問3[証明] 点Dを通り、辺ACに平行な直線をひき、辺BCとの交点をFとする
\(\triangle {\rm ADE}\) と \(\triangle {\rm DBF}\) において、
\({\rm DE \,//\, BC}\) より、平行線の同位角は等しいから、$$~~~\angle{\rm ADE}=\angle{\rm DBF}~~~\cdots{\large ①}$$また、\({\rm AE \,//\, DF}\) より、平行線の同位角は等しいから、$$~~~\angle{\rm DAE}=\angle{\rm BDF}~~~\cdots{\large ②}$$①、②より、2組の角がそれぞれ等しいから、$$~~~\triangle {\rm ADE}∽\triangle {\rm DBF}$$相似な図形の対応する辺の比は等しいから、$$~~~{\rm AD:DB=AE:DF}~~~\cdots{\large ③}$$また、四角形DFCEは、$$~~~{\rm DE\,//\,FC~,~DF\,//\,EC}$$これより、平行四辺形である
平行四辺形の2組の対辺はそれぞれ等しいから、$$~~~{\rm DF=EC}~~~\cdots{\large ④}$$③と④より、$$~~~{\rm AD:DB=AE:EC}$$[終]
\(\triangle {\rm ADE}\) と \(\triangle {\rm DBF}\) において、
\({\rm DE \,//\, BC}\) より、平行線の同位角は等しいから、$$~~~\angle{\rm ADE}=\angle{\rm DBF}~~~\cdots{\large ①}$$また、\({\rm AE \,//\, DF}\) より、平行線の同位角は等しいから、$$~~~\angle{\rm DAE}=\angle{\rm BDF}~~~\cdots{\large ②}$$①、②より、2組の角がそれぞれ等しいから、$$~~~\triangle {\rm ADE}∽\triangle {\rm DBF}$$相似な図形の対応する辺の比は等しいから、$$~~~{\rm AD:DB=AE:DF}~~~\cdots{\large ③}$$また、四角形DFCEは、$$~~~{\rm DE\,//\,FC~,~DF\,//\,EC}$$これより、平行四辺形である
平行四辺形の2組の対辺はそれぞれ等しいから、$$~~~{\rm DF=EC}~~~\cdots{\large ④}$$③と④より、$$~~~{\rm AD:DB=AE:EC}$$[終]
p.146 問4$${\small (1)}~x=4~,~y=4.8$$$${\small (2)}~x=2~,~y=5$$$${\small (3)}~x=10~,~y=4$$
p.147 問5[証明] 点Cを通り、辺ABに平行な直線をひき、直線DEとの交点をFとする
\(\triangle {\rm ADE}\) と \(\triangle {\rm CFE}\) において、
対頂角が等しいから、$$~~~\angle{\rm AED}=\angle{\rm CEF}~~~\cdots{\large ①}$$また、\({\rm AD \,//\, CF}\) より、平行線の錯角は等しいから、$$~~~\angle{\rm ADE}=\angle{\rm CFE}~~~\cdots{\large ②}$$①、②より、2組の角がそれぞれ等しいから、$$~~~\triangle {\rm ADE}∽\triangle {\rm CFE}$$相似な図形の対応する辺の比は等しいから、$$~~~{\rm AD:CF=AE:CE}$$仮定 \({\rm AD:DB=AE:EC}\) より、$$~~~{\rm DB=CF}$$また、\({\rm DB\,//\,CF}\) であるので、1組の対辺が平行でその長さが等しいから、四角形DBCFは平行四辺形である
したがって、$$~~~{\rm DE\,//\,BC}$$[終]
\(\triangle {\rm ADE}\) と \(\triangle {\rm CFE}\) において、
対頂角が等しいから、$$~~~\angle{\rm AED}=\angle{\rm CEF}~~~\cdots{\large ①}$$また、\({\rm AD \,//\, CF}\) より、平行線の錯角は等しいから、$$~~~\angle{\rm ADE}=\angle{\rm CFE}~~~\cdots{\large ②}$$①、②より、2組の角がそれぞれ等しいから、$$~~~\triangle {\rm ADE}∽\triangle {\rm CFE}$$相似な図形の対応する辺の比は等しいから、$$~~~{\rm AD:CF=AE:CE}$$仮定 \({\rm AD:DB=AE:EC}\) より、$$~~~{\rm DB=CF}$$また、\({\rm DB\,//\,CF}\) であるので、1組の対辺が平行でその長さが等しいから、四角形DBCFは平行四辺形である
したがって、$$~~~{\rm DE\,//\,BC}$$[終]
■ 同じタイプの例題解説
» 三角形の線分の比と平行線
» 三角形の線分の比と平行線
p.147 問6$$~~~{\rm FD\,//\,AC}$$理由$$~~~{\rm BF:FA}=6:4.5=4:3$$$$~~~{\rm BD:DC}=8:6=4:3$$
■ 同じタイプの例題解説
» 三角形の線分の比と平行線
» 三角形の線分の比と平行線
p.148 問8$$~~~{\rm EF}=2~{\rm cm}~,~{\rm EG}=7~{\rm cm}$$
■ 同じタイプの例題解説
» 中点連結定理
» 中点連結定理
2 平行線と比
p.152 問1$${\small (1)}~x=3.6$$$${\small (2)}~x=9.6$$$${\small (3)}~x=7.2$$
■ 同じタイプの例題解説
» 平行線と線分の比
» 平行線と線分の比
p.152 問2
① 直線AXを引く
② コンパスを使い、等間隔に点C、D、E、F、Gをとる
③ 直線GBを引き、この直線に平行で点Eを通る直線を引く
④ この直線と線分ABの交点が点Pとなる
① 直線AXを引く
② コンパスを使い、等間隔に点C、D、E、F、Gをとる
③ 直線GBを引き、この直線に平行で点Eを通る直線を引く
④ この直線と線分ABの交点が点Pとなる
■ 同じタイプの例題解説
» 平行線と線分の比
» 平行線と線分の比
p.153 問3[証明] 線分ADに平行で点Cを通る直線を引く
この直線と線分ABとの延長線との交点をEとする
\({\rm AD \,//\, EC}\) より、平行線の錯角は等しいから、$$~~~\angle{\rm DAC}=\angle{\rm ACE}~~~\cdots{\large ①}$$\({\rm AD \,//\, EC}\) より、平行線の同位角は等しいから、$$~~~\angle{\rm BAD}=\angle{\rm AEC}~~~\cdots{\large ②}$$\(\angle{\rm BAD}=\angle{\rm DAC}\) と①、②より、$$~~~\angle{\rm ACE}=\angle{\rm AEC}$$よって、\(\triangle {\rm ACE}\) は二等辺三角形となるので、$$~~~{\rm AC=AE}\cdots{\large ③}$$次に、\(\triangle {\rm BEC}\) において、\({\rm AD \,//\, EC}\) より$$~~~{\rm BA:AE=BD:DC}$$③より、$$~~~{\rm AB:AC=BD:DC}$$[終]
【別解】
辺ACと平行で点Bを通る直線を引く
この直線と二等分線ADの延長線との交点をFとする
\({\rm AC \,//\, BF}\) より、平行線の錯角は等しいから、$$~~~\angle{\rm DAC}=\angle{\rm BFD}~~~\cdots{\large ①}$$\(\angle{\rm BAD}=\angle{\rm DAC}\) と①より、$$~~~\angle{\rm BAD}=\angle{\rm BFD}$$よって、\(\triangle {\rm ABF}\) は二等辺三角形となるので、$$~~~{\rm AB=BF}\cdots{\large ②}$$次に、\(\triangle {\rm BFD}\) と \(\triangle {\rm CAD}\) において、対頂角が等しいから、$$~~~\angle{\rm BDF}=\angle{\rm CDA}~~~\cdots{\large ③}$$①と③より、2組の角がそれぞれ等しいから、$$~~~\triangle {\rm BFD}∽\triangle {\rm CAD}$$相似な図形の対応する辺の比は等しいから、$$~~~{\rm BF:CA=BD:CD}$$②より、$$~~~{\rm AB:AC=BD:DC}$$[終]
この直線と線分ABとの延長線との交点をEとする
\({\rm AD \,//\, EC}\) より、平行線の錯角は等しいから、$$~~~\angle{\rm DAC}=\angle{\rm ACE}~~~\cdots{\large ①}$$\({\rm AD \,//\, EC}\) より、平行線の同位角は等しいから、$$~~~\angle{\rm BAD}=\angle{\rm AEC}~~~\cdots{\large ②}$$\(\angle{\rm BAD}=\angle{\rm DAC}\) と①、②より、$$~~~\angle{\rm ACE}=\angle{\rm AEC}$$よって、\(\triangle {\rm ACE}\) は二等辺三角形となるので、$$~~~{\rm AC=AE}\cdots{\large ③}$$次に、\(\triangle {\rm BEC}\) において、\({\rm AD \,//\, EC}\) より$$~~~{\rm BA:AE=BD:DC}$$③より、$$~~~{\rm AB:AC=BD:DC}$$[終]
【別解】
辺ACと平行で点Bを通る直線を引く
この直線と二等分線ADの延長線との交点をFとする
\({\rm AC \,//\, BF}\) より、平行線の錯角は等しいから、$$~~~\angle{\rm DAC}=\angle{\rm BFD}~~~\cdots{\large ①}$$\(\angle{\rm BAD}=\angle{\rm DAC}\) と①より、$$~~~\angle{\rm BAD}=\angle{\rm BFD}$$よって、\(\triangle {\rm ABF}\) は二等辺三角形となるので、$$~~~{\rm AB=BF}\cdots{\large ②}$$次に、\(\triangle {\rm BFD}\) と \(\triangle {\rm CAD}\) において、対頂角が等しいから、$$~~~\angle{\rm BDF}=\angle{\rm CDA}~~~\cdots{\large ③}$$①と③より、2組の角がそれぞれ等しいから、$$~~~\triangle {\rm BFD}∽\triangle {\rm CAD}$$相似な図形の対応する辺の比は等しいから、$$~~~{\rm BF:CA=BD:CD}$$②より、$$~~~{\rm AB:AC=BD:DC}$$[終]
■ 同じタイプの例題解説
» 角の二等分線と比
» 角の二等分線と比
3節 相似な図形の面積と体積
1 相似な図形の相似比と面積比
p.156 問1$$~~~\frac{\,8\,}{\,3\,}~{\rm cm^2}$$
■ 同じタイプの例題解説
» 相似な図形の面積比
» 相似な図形の面積比
p.158 問3$${\small (1)}~2:5$$$${\small (2)}~225~{\rm cm}^2$$
■ 同じタイプの例題解説
» 相似な図形の面積比
» 相似な図形の面積比
p.158 問5ピザの直径の相似比は、$$~~~24:36=2:3$$よって、面積比は、$$~~~2^2:3^2=4:9$$また、値段の比は、$$~~~2200:3600=11:18$$よって、MからLに変えると、面積が \(2.25\) 倍になるのに対して値段が約 \(1.6\) 倍にしかならない
したがって、Lサイズの方が得
したがって、Lサイズの方が得
■ 同じタイプの例題解説
» 相似な図形の面積比
» 相似な図形の面積比
■ 同じタイプの例題解説
» 相似の利用
» 相似の利用
2 相似な立体な表面積比や体積比
p.160 問1$${\small (1)}~9:16$$$${\small (2)}~27:64$$
■ 同じタイプの例題解説
» 相似な立体の表面積比と体積比
» 相似な立体の表面積比と体積比
p.161 問3$${\small (1)}~48~{\rm cm^2}$$$${\small (2)}~162~{\rm cm^3}$$
■ 同じタイプの例題解説
» 相似な立体の表面積比と体積比
» 相似な立体の表面積比と体積比
p.161 問4$${\small (1)}~32\pi~{\rm cm^3}$$$${\small (2)}~1:3$$$${\small (3)}~\frac{\,32\,}{\,27\,}\pi~{\rm cm^3}$$
■ 同じタイプの例題解説
» 相似の利用
» 相似の利用
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