啓林館：未来へ広がる数学２

p.126 問1　仮定｜\({\rm AB=AC}\)
　結論｜\(\angle{\rm B}=\angle{\rm C}\)

p.127 問2\({\small (1)}~\)\({\rm AB=AC~,~AD=AD}\)
　\(\angle{\rm BAD}=\angle{\rm CAD}\)

---

\({\small (2)}~\)合同な図形では、対応する角の大きさが等しいから \(\angle{\rm B}=\angle{\rm C}\) が成り立つ

p.128 問3\(\begin{split}{\small (1)}~\angle{\rm B}=70^\circ~,~\angle{\rm C}=40^\circ\end{split}\)
\(\begin{split}{\small (2)}~\angle{\rm E}=55^\circ~,~\angle{\rm F}=55^\circ\end{split}\)

p.129 問4\({\small (1)}~\)仮定｜\({\rm AB=AC~,~BM=CM}\)
　　結論｜\(\angle{\rm BAM}=\angle{\rm CAM}~,~{\rm AM\perp BC}\)

---

\({\small (2)}~\)[証明] \(\triangle {\rm ABM}\) と \(\triangle {\rm ACM}\) において、
仮定より、
　\({\rm AB=AC}~~~\cdots{\large ①}\)
　\({\rm BM=CM}~~~\cdots{\large ②}\)
また、二等辺三角形の２つの底角は等しいので、
　\(\angle{\rm ABM}=\angle{\rm ACM}~~~\cdots{\large ③}\)
①、②、③から、２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、
　\(\triangle {\rm ABM}\equiv\triangle {\rm ACM}\)
合同な図形では、対応する角の大きさが等しいので、
　\(\angle{\rm BAM}=\angle{\rm CAM}\)
また、二等辺三角形の頂角の二等分線は、底辺を垂直に二等分くるので、
　\({\rm AM\perp BC}\)
[終]

p.130 問5　\(\angle{\rm CAD}~,~\angle{\rm C}~,~\angle{\rm ADC}\)
　１組の辺のとその両端の角

p.130 問6\({\small (1)}~\)

\({\small (2)}~\)[証明] 仮定より、
　\(\angle{\rm B}=\angle{\rm C}\)
これと、\({\rm BP}\) は \(\angle{\rm B}\) の二等分線で、\({\rm CP}\) は \(\angle{\rm C}\) の二等分線であるから、
　\(\angle{\rm PBC}=\angle{\rm PCB}\)
２つの底角が等しい三角形だから、\(\triangle {\rm PBC}\) は二等辺三角形となる [終]

p.131 問7\({\small (1)}~\)\(\triangle {\rm ABC}\) と \(\triangle {\rm DEF}\) で、
\({\rm AB=DE~,~BC=EF~,~CA=FD}\) ならば \(\triangle {\rm ABC}\equiv\triangle {\rm DEF}\) である

---

\({\small (2)}~\)\(\triangle {\rm ABC}\) と \(\triangle {\rm DEF}\) で、
\(\angle{\rm A}=\angle{\rm D}~,~\angle{\rm B}=\angle{\rm E}~,~\angle{\rm C}=\angle{\rm F}\) ならば \(\triangle {\rm ABC}\equiv\triangle {\rm DEF}\) である

p.132 問8\({\small (1)}~\)整数 \(a~,~b\) で、
\(a+b\) が偶数ならば、\(a\) も \(b\) も奇数である
正しくない
反例は、\(a=2~,~b=4\) など

---

\({\small (2)}~\)\(\triangle {\rm ABC}\) で、
\(\angle{\rm A}+\angle{\rm B}=90^\circ\) ならば \(\angle{\rm C}\) は直角である
正しい

p.133 問9[証明] 仮定 \(\angle{\rm B}=\angle{\rm C}\) より、\(\triangle {\rm ABC}\) は \(\angle{\rm A}\) を頂角とする二等辺三角形となり、
　\({\rm AB=AC}~~~\cdots{\large ①}\)
また、仮定 \(\angle{\rm A}=\angle{\rm C}\) より、\(\triangle {\rm ABC}\) は \(\angle{\rm B}\) を頂角とする二等辺三角形となり、
　\({\rm BA=BC}~~~\cdots{\large ②}\)
したがって、①と②より、
　\({\rm AB=BC=CA}\)
[終]

p.133 練習問題 1\({\small (1)}~\)\(\triangle {\rm ABC}\) で、
\(\triangle {\rm ABC}\) が鈍角三角形 ならば、\(\angle{\rm C}\) が鈍角である
正しくない
反例は、\(\angle{\rm A}\) が鈍角など

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\({\small (2)}~\)\(a\) が偶数 ならば、\(a\) が６の倍数である
正しくない
反例は、\(a=8\) など

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\({\small (3)}~\)整数 \(a~,~b\) で、
\(ab\) が偶数 ならば \(a\) も \(b\) も偶数
正しくない
反例は、\(a=3~,~b=2\) など

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\({\small (4)}~\)２つの直線の同位角が等しい ならば、その２つの直線は平行である
正しい

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\({\small (5)}~\)２つの三角形の面積が等しい ならば、その２つの三角形は合同である
正しくない
反例は、

図のような場合、面積は等しいが合同ではない

p.133 練習問題 2　\({\rm AD=AE}\) の二等辺三角形

p.136 説明しよう\(\triangle {\rm ABE}\) は二等辺三角形
二等辺三角形の底角は等しいから
　\(\angle{\rm B}=\angle{\rm E}\)

p.137 問1アとカ
２辺とその間の角がそれぞれ等しい

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イとエ
直角三角形の斜辺と他の１辺がそれぞれ等しい

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ウとオ
直角三角形の斜辺と１つの鋭角がそれぞれ等しい

p.138 問2[証明]

\(\triangle {\rm POH}\) と \(\triangle {\rm POK}\) で、
仮定より、
　\(\angle{\rm POH}=\angle{\rm POK}~~~\cdots{\large ①}\)
　\(\angle{\rm PHO}=\angle{\rm PKO}=90^\circ~~~\cdots{\large ②}\)
共通の辺より、
　\({\rm PO=PO}~~~\cdots{\large ③}\)
①、②、③から、直角三角形の斜辺と１つの鋭角がそれぞれ等しいので、
　\(\triangle {\rm POH}\equiv\triangle {\rm POK}\)
合同な図形では、対応する辺が等しいので、
　\({\rm PH=PK}\)
[終]

p.138 練習問題 1\({\small (1)}~\)

\({\small (2)}~\)[証明] \(\triangle {\rm ABH}\) と \(\triangle {\rm AHC}\) で、
仮定より、
　\({\rm AB=AC}~~~\cdots{\large ①}\)
　\(\angle{\rm AHB}=\angle{\rm AHC}=90^\circ~~~\cdots{\large ②}\)
二等辺三角形の底角が等しいので、
　\(\angle{\rm ABH}=\angle{\rm ACH}~~~\cdots{\large ③}\)
①、②、③から、直角三角形の斜辺と１つの鋭角がそれぞれ等しいので、
　\(\triangle {\rm ABH}\equiv\triangle {\rm ACH}\)
合同な図形では、対応する辺が等しいので、
　\({\rm BH=CH}\) [終]

p.141 問1\({\small (1)}~\)仮定｜\({\rm AB\,//\,DC~,~AD\,//\,BC}\)
　　結論｜\(\angle{\rm A}=\angle{\rm C}~,~\angle{\rm B}=\angle{\rm D}\)

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\({\small (2)}~\)[証明] \(\triangle {\rm ABC}\equiv\triangle {\rm CDA}\) より、合同な図形では対応する角の大きさはそれぞれ等しいので、
　\(\angle{\rm ABC}=\angle{\rm CDA}~~~\cdots{\large ①}\)
　\(\angle{\rm BAC}=\angle{\rm DCA}~~~\cdots{\large ②}\)
　\(\angle{\rm ACB}=\angle{\rm CAD}~~~\cdots{\large ③}\)
①より、
　\(\angle{\rm B}=\angle{\rm D}\)
②と③より、
　\(\angle{\rm BAC}+\angle{\rm CAD}=\angle{\rm DCA}+\angle{\rm ACB}\)
よって、
　\(\angle{\rm A}=\angle{\rm C}\)
したがって、
　\(\angle{\rm A}=\angle{\rm C}~,~\angle{\rm B}=\angle{\rm D}\)
[終]

p.141 問2[証明] \(\triangle {\rm AOB}\) と \(\triangle {\rm COD}\) について、
仮定より、
　\({\rm AB=CD}~~~\cdots{\large ①}\)
\({\rm AB\,//\,CD}\) より、錯角が等しいので、
　\(\angle{\rm BAO}=\angle{\rm DCO}~~~\cdots{\large ②}\)
　\(\angle{\rm ABO}=\angle{\rm CDO}~~~\cdots{\large ③}\)
①、②、③より、１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいから
　\(\triangle {\rm AOB}\equiv\triangle {\rm COD}\)
合同な図形では、対応する辺が等しいので、
　\({\rm AO=CO~,~BO=DO}\)
したがって、
平行四辺形の対角線はそれぞれの中点で交わる [終]

p.142 練習問題 1\(\begin{split}~~~x=4~{\rm cm}~,~y=5~{\rm cm}\end{split}\)
\(\begin{split}~~~a=70^\circ~,~b=110^\circ\end{split}\)

p.144 問1[証明] 四角形の内角の和が \(360^\circ\) より、
　\(\angle{\rm A}+\angle{\rm B}+\angle{\rm C}+\angle{\rm D}=360^\circ\)
仮定より、\(\angle{\rm A}=\angle{\rm C}~,~\angle{\rm B}=\angle{\rm D}\) であるので、$$\begin{eqnarray}~~~\angle{\rm A}+\angle{\rm B}+\angle{\rm A}+\angle{\rm B}&=&360^\circ\\[2pt]~~~2(\angle{\rm A}+\angle{\rm B})&=&360^\circ\\[2pt]~~~\angle{\rm A}+\angle{\rm B}&=&180^\circ\end{eqnarray}$$これより、
　\(\angle{\rm EBC}=180^\circ-\angle{\rm B}=\angle{\rm A}\)
同位角が等しいから \({\rm AD\,//\,BC}\)
同様に考えて、\({\rm AB\,//\,DC}\)
２組の向かいあう辺がそれぞれ平行であるので、四角形 \({\rm ABCD}\) は平行四辺形である [終]

p.144 問2[証明] \(\triangle {\rm AOB}\) と \(\triangle {\rm COD}\) について、
仮定より、
　\({\rm AO=CO}~~~\cdots{\large ①}\)
　\({\rm BO=DO}~~~\cdots{\large ②}\)
対頂角が等しいので、
　\(\angle{\rm AOB}=\angle{\rm COD}~~~\cdots{\large ③}\)
①、②、③より、２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいから
　\(\triangle {\rm AOB}\equiv\triangle {\rm COD}\)
合同な図形では、対応する角の大きさが等しいので、
　\(\angle{\rm OAB}=\angle{\rm OCD}\)
錯角が等しいので、
　\({\rm AB\,//\,CD}\)
同様に、\(\triangle {\rm AOD}\) と \(\triangle {\rm COB}\) でも考えて、
　\({\rm AD\,//\,CB}\)
したがって、
２組の向かいあう辺がそれぞれ平行であるので、四角形 \({\rm ABCD}\) は平行四辺形である [終]

p.145 問3[証明] 対角線 \({\rm AC}\) をひく
\(\triangle {\rm ABC}\) と \(\triangle {\rm CDA}\) について、
仮定より、
　\({\rm BC=DA}~~~\cdots{\large ①}\)
共通の辺より、
　\({\rm AC=CA}~~~\cdots{\large ②}\)
\({\rm AD\,//\,BC}\) より、錯角が等しいので、
　\(\angle{\rm ACB}=\angle{\rm CAD}~~~\cdots{\large ③}\)
①、②、③より、２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいから
　\(\triangle {\rm ABC}\equiv\triangle {\rm CDA}\)
合同な図形では、対応する辺が等しいので、
　\({\rm AB=CD}~~~\cdots{\large ④}\)
したがって、①と④より、
２組の向かいあう辺がそれぞれ等しいので、四角形 \({\rm ABCD}\) は平行四辺形である [終]

p.145 問4\({\small (1)}~\)いえる　　\({\small (2)}~\)いえない
\({\small (3)}~\)いえる

p.145 説明しよう\(\begin{split}~~~{\rm CD}=5~{\rm cm}\end{split}\)

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四角形 \({\rm ABCD}\) の２組の向かいあう角がそれぞれ等しいから、平行四辺形となり、向かいあう辺が等しいから \({\rm AB=CD }\)

p.146 問5[証明] ▱ \({\rm ABCD}\)の対辺は平行で長さが等しいので、
　\({\rm AD\,//\,BC~,~AD=BC}\)
これより、
　\({\rm AM\,//\,NC}~~~\cdots{\large ①}\)
また、\({\rm M~,~N}\) はそれぞれ \({\rm AD~,~BC}\) の中点より、
\(\begin{split}~~~{\rm AM}=\frac{\,1\,}{\,2\,}{\rm AD}~,~{\rm NC}=\frac{\,1\,}{\,2\,}{\rm BC}\end{split}\)
\({\rm AD=BC}\) より、
　\({\rm AM=NC}~~~\cdots{\large ②}\)
①と②より、
平行四辺形の１組の向かいあう辺が等しくて平行であるので、四角形 \({\rm ANCM}\) は平行四辺形である [終]

p.147 説明しようひし形は４つの辺がすべて等しいので、２組の向かいあう辺がそれぞれ等しくなり、平行四辺形である

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正方形は４つの角がすべて等しいので、２組の向かいあう角がそれぞれ等しくなり、平行四辺形である
(※ ４つの辺でもよい)

p.148 問1(ア)
[証明] \(\triangle {\rm ABC}\) と \(\triangle {\rm DCB}\) において、
長方形の４つの角はすべて等しいので、
　\(\angle{\rm ABC}=\angle{\rm DCB}~~~\cdots{\large ①}\)
長方形は平行四辺形であり、２組の向かいあう辺が等しいので、
　\({\rm AB=DC}~~~\cdots{\large ②}\)
共通の辺より、
　\({\rm BC=CB}~~~\cdots{\large ③}\)
①、②、③より、２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいから
　\(\triangle {\rm ABC}\equiv\triangle {\rm DCB}\)
合同な図形では、対応する辺が等しいので、
　\({\rm AC=DB}\)
したがって、長方形の対角線の長さは等しい [終]

---

(イ)
[証明] \(\triangle {\rm ABO}\) と \(\triangle {\rm ADO}\) について、
ひし形の４つの辺はすべて等しいので、
　\({\rm AB=AD}~~~\cdots{\large ①}\)
ひし形は平行四辺形であり、対角線はそれぞれの中点で交わるので、
　\({\rm BO=DO}~~~\cdots{\large ②}\)
共通の辺より、
　\({\rm AO=AO}~~~\cdots{\large ③}\)
①、②、③より、３組の辺がそれぞれ等しいから
　\(\triangle {\rm ABO}\equiv\triangle {\rm ADO}\)
合同な図形では、対応する角の大きさが等しいので、
　\(\angle{\rm BAO}=\angle{\rm DAO}\)
ここで、\(\triangle {\rm ABD}\) は二等辺三角形で \({\rm AO}\) は \(\angle{\rm BAD}\) の二等分線であるので、
直線 \({\rm AO}\) な辺 \({\rm BC}\) を垂直に二等分する
したがって、ひし形の対角線は垂直に交わる [終]

p.148 問2正方形の対角線は、長さが等しく垂直に交わる

p.149 問3対角線の長さが等しい → 長方形
対角線が垂直に交わる → ひし形
対角線の長さが等しく垂直に交わる → 正方形

p.150 問1[証明] \(\triangle {\rm ABC}=\triangle {\rm DBC}\) より、
点 \({\rm A~,~D}\) から直線 \({\rm BC}\) に下ろした垂線との交点を \({\rm H~,~K}\) とすると、
　\({\rm AH=DK}~,~\angle{\rm AHC}=\angle{\rm DKB}=90^\circ\)
これより、四角形 \({\rm AHKD}\) は長方形となり、向かいあう辺は平行であるので、
　\({\rm AD\,//\,HK}\)
したがって、
　\({\rm AD\,//\,BC}\) [終]

p.151 説明しよう\({\rm AC\,//\,DE}\) より、
　\(\triangle {\rm ACD}=\triangle {\rm ACE}\)
よって、
　四角形 \({\rm ABCD}=\triangle {\rm ABC}+\triangle {\rm ACD}\)
　\(\triangle {\rm ABE}=\triangle {\rm ABC}+\triangle {\rm ACE}\)
であるので、
四角形 \({\rm ABCD}\) と \(\triangle {\rm ABE}\) の面積は等しい

p.151 問2\({\rm AC}\) と平行で点 \({\rm B}\) を通る直線をひく
この直線と辺 \({\rm QR}\) のと交点が点 \({\rm D}\) となる

p.151 練習問題 1\(\begin{split}~~~\triangle {\rm DBE}~,~\triangle {\rm DBF}~,~\triangle {\rm AFD}\end{split}\)

p.153 問1[証明] 四角形 \({\rm ABCD}\) は、\({\rm AO=CO~,~BO=DO}\) より、対角線がそれぞれの中点で交わるので、平行四辺形である
平行四辺形の向かいあう辺は平行であるので、
　\({\rm AB\,//\,DC}\)
[終]

p.153 説明しよう問１より、\({\rm AB\,//\,DC}\) であるので、
板と床の面は平行となる

p.153 問2　長方形

p.153 説明しよう四角形 \({\rm ABCD}\) は、\({\rm AB=DC~,~AD=BC}\) より、２組の向かいあう辺が等しいのね、平行四辺形である
平行四辺形の向かいあう辺は平行であるので、
　\({\rm AD\,//\,BC}\)
したがって、２つの板は平行となる