啓林館：未来へ広がる数学３

p.122 問1アの図形は、ウの図形の \(\begin{split}{ \frac{\,1\,}{\,2\,}}\end{split}\) の縮図
ウの図形は、アの図形の \(2\) 倍の拡大図

p.124 問2\(\begin{split}~~~\triangle {\rm ABC}\,\,\unicode{x223D}\,\,\triangle {\rm DEF}~,~\triangle {\rm ABC}\,\,\unicode{x223D}\,\,\triangle {\rm GIH}\end{split}\)

p.124 問3\(\begin{split}~~~4:5\end{split}\)

p.124 問4　合同

p.124 問5\(\begin{split}~~~{\rm CD}=3~~{\rm cm}~,~\angle {\rm H}=120^\circ\end{split}\)

p.125 練習問題 1\({\small (1)}~\)点 \({\rm E}\) と点 \({\rm A}\)、点 \({\rm F}\) と点 \({\rm B}\)、
点 \({\rm G}\) と点 \({\rm C}\)、点 \({\rm H}\) と点 \({\rm D}\)
\(\begin{split}{\small (2)}~5:3\end{split}\)
\(\begin{split}{\small (3)}~\angle{\rm G}=75^\circ\end{split}\)

---

\(\begin{split}{\small (4)}~{\rm EF}=\frac{\,24\,}{\,5\,}=4.8~{\rm cm}\end{split}\)

p.127 問1　(イ)

① \(\angle{\rm B}\) をはかり、同じ角度になるように点 \({\rm E}\) を通る直線をひく。
② \({\rm AB}\) をコンパスではかり、点 \({\rm E}\) から２倍の長さの点 \({\rm D}\) をとる。
③ ３点 \({\rm D~,~E~,~F}\) をむすぶ。

---

　(ウ)

① \(\angle{\rm B}\) をはかり、同じ角度になるように点 \({\rm E}\) を通る直線をひく。
② \(\angle{\rm C}\) をはかり、同じ角度になるように点 \({\rm F}\) を通る直線をひく。
③ この２直線の交点を \({\rm D}\) として、３点 \({\rm D~,~E~,~F}\) をむすぶ。

p.128 問2アとウ
３組の辺の比が、それぞれ等しい

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イとキ
２組の辺の比とその間の角が、それぞれ等しい

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エとオとカ
２組の角が、それぞれ等しい

p.128 問3\({\small (1)}~\triangle {\rm ABC}\,\,\unicode{x223D}\,\,\triangle {\rm AED}\)
２組の角が、それぞれ等しい

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\({\small (2)}~\triangle {\rm PQR}\,\,\unicode{x223D}\,\,\triangle {\rm PTS}\)
２組の辺の比とその間の角が、それぞれ等しい

p.128 練習問題 1\({\small (1)}~\)２組の辺の比とその間の角が、それぞれ等しい
\({\small (2)}~3:5\)
\({\small (3)}~{\rm DF}=15~{\rm cm}\)

p.130 問1　２倍
　相似な図形の対応する辺の比が等しいから

p.131 問2[証明] \(\triangle {\rm OAD}\) と \(\triangle {\rm OCB}\) において、
仮定より、
　\({\rm OA:OC}=3:6=1:2~~\cdots{\large ①}\)
　\({\rm OD:OB}=4:8=1:2~~\cdots{\large ②}\)
対頂角が等しいから、
　\(\angle{\rm AOD}=\angle{\rm COB}~~\cdots{\large ③}\)
①、②、③より、
２組の辺の比とその間の角が、それぞれ等しいので、
　\(\triangle {\rm OAD}\,\,\unicode{x223D}\,\,\triangle {\rm OCB}\)
[終]

---

相似な図形の対応する角が等しいから、
　\(\angle{\rm OAD}=\angle{\rm OCB}\)
錯角が等しいから
　\({\rm AD\,//\,BC}\)

p.131 話しあおう\(\triangle {\rm ABC}~,~\triangle {\rm HAB}~,~\triangle {\rm HCA}\)
２組の角が、それぞれ等しい

p.131 練習問題 1[証明] \(\triangle {\rm ABD}\) と \(\triangle {\rm DCB}\) において、
仮定より、
　\({\rm AB:DC}=6:8=3:4~~\cdots{\large ①}\)
　\({\rm BD:CD}=12:16=3:4~~\cdots{\large ②}\)
　\({\rm AD:DB}=9:12=3:4~~\cdots{\large ③}\)
①、②、③より、
３組の辺の比が、それぞれ等しいから、
　\(\triangle {\rm ABD}\,\,\unicode{x223D}\,\,\triangle {\rm DCB}\)
[終]

---

相似な図形の対応する角が等しいから、
　\(\angle{\rm ADB}=\angle{\rm DBC}\)
錯角が等しいから
　\({\rm AD\,//\,BC}\)

p.131 練習問題 2[証明] \(\triangle {\rm ABC}\) と \(\triangle {\rm BDC}\) において、
仮定より、
　\(\angle{\rm ABC}=\angle{\rm ACB}\)
　\(\angle{\rm BDC}=\angle{\rm BCD}\)
よって、
　\(\angle{\rm ABC}=\angle{\rm BDC}~~\cdots{\large ①}\)
共通の角より、
　\(\angle{\rm ACB}=\angle{\rm BCD}~~\cdots{\large ②}\)
①、②より、
２組の角がそれぞれ等しいから、
　\(\triangle {\rm ABC}\,\,\unicode{x223D}\,\,\triangle {\rm BDC}\)
[終]

---

\(\begin{split}~~~{\rm CD}=\frac{\,49\,}{\,10\,}=4.9~{\rm cm}\end{split}\)

p.131 練習問題 3\(\begin{split}~~~{\rm CH}=4~{\rm cm}\end{split}\)

p.133 問1\(\begin{split}~~~x=6~{\rm cm}~,~y=\frac{\,15\,}{\,2\,}=7.5~{\rm cm}\end{split}\)

p.133 説明しよう\({\rm BC\,//\,P’Q’}\) のとき、
\(\triangle {\rm AP’Q’}\,\,\unicode{x223D}\,\,\triangle {\rm ABC}\) より、
　\({\rm AP’:AB=AQ’:AC=P’Q’:BC}\)

---

\({\rm BC\,//\,P'{}’Q'{}’}\) のとき、
\(\triangle {\rm AP'{}’Q'{}’}\,\,\unicode{x223D}\,\,\triangle {\rm ABC}\) より、
　\({\rm AP'{}’:AB=AQ'{}’:AC=P'{}’Q'{}’:BC}\)

p.135 問2\(\begin{split}~~~x=3~{\rm cm}~,~{\rm BC}=\frac{\,21\,}{\,2\,}=10.5~{\rm cm}\end{split}\)

p.135 問3\(\begin{split}{\small (1)}~x=4~{\rm cm}~,~y=\frac{\,14\,}{\,5\,}=2.8~{\rm cm}\end{split}\)

---

\(\begin{split}{\small (2)}~x=\frac{\,16\,}{\,5\,}=3.2~{\rm cm}~,~y=\frac{\,25\,}{\,2\,}=12.5~{\rm cm}\end{split}\)

---

\(\begin{split}{\small (3)}~x=12~{\rm cm}~,~y=\frac{\,7\,}{\,3\,}~{\rm cm}\end{split}\)

p.137 問4平行線にはさまれた線分の比より、
\(p\,//\,q\,//\,r\) より、
　\(a:a’=b:b’\)
また、\(q\,//\,r\,//\,s\) より、
　\(b:b’=c:c’\)
よって、
　\(a:a’=b:b’=c:c’\)
となる

p.137 問5\(\begin{split}~~~x=16~{\rm cm}~,~y=30~{\rm cm}~,~z=20~{\rm cm}\end{split}\)

p.138 問6\(\begin{split}{\small (1)}~x=6~{\rm cm}\end{split}\)
\(\begin{split}{\small (2)}~x=8~{\rm cm}\end{split}\)

p.139 問7[証明] \(\triangle {\rm APQ}\) と \(\triangle {\rm ABC}\) において、
仮定より、
　\({\rm AP:AB=AQ:AC}~~\cdots{\large ①}\)
共通の角より、
　\(\angle{\rm PAQ}=\angle{\rm BAC}~~\cdots{\large ②}\)
①、②より、
２組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいから、
　\(\triangle {\rm APQ}\,\,\unicode{x223D}\,\,\triangle {\rm ABC}\)
相似な図形の対応する角が等しいから、
　\(\angle{\rm APQ}=\angle{\rm ABC}\)
同位角が等しいから、
　\({\rm PQ\,//\,BC}\)
したがって、
　\({\rm AP:AB=AQ:AC}\) ならば \({\rm PQ\,//\,BC}\)
[終]

p.140 問8\(\begin{split}~~~{\rm FD\,//\,AC}\end{split}\)
\(\begin{split}~~~{\rm BF:FA=BD:DC}=2:3\end{split}\)

p.140 問9\(\triangle {\rm OAB}\,\,\unicode{x223D}\,\,\triangle {\rm OA’B’}\) より、
　\({\rm AB:A’B’}=1:3\)
また、\(\triangle {\rm OAC}\,\,\unicode{x223D}\,\,\triangle {\rm OA’C’}\) より、
　\({\rm AC:A’C’}=1:3\)
また、\(\triangle {\rm OBC}\,\,\unicode{x223D}\,\,\triangle {\rm OB’BC’}\) より、
　\({\rm BC:B’C’}=1:3\)
よって、３組の辺が、それぞれ等しいから、
　\(\triangle {\rm ABC}\,\,\unicode{x223D}\,\,\triangle {\rm A’B’C’}\)

---

相似比は、\(1:3\)

p.141 問10

p.141 問11

p.141 練習問題 1\(\begin{split}{\small (1)}~x=\frac{\,16\,}{\,3\,}~{\rm cm}~,~y=\frac{\,25\,}{\,2\,}=12.5~{\rm cm}\end{split}\)

---

\(\begin{split}{\small (2)}~x=8~{\rm cm}~,~y=\frac{\,14\,}{\,3\,}~{\rm cm}\end{split}\)

p.142 問1\(\begin{split}~~~12~{\rm cm}~,~\triangle {\rm DEF}\,\,\unicode{x223D}\,\,\triangle {\rm CBA}\end{split}\)

p.143 問2　ひし形

p.143 練習問題 1\(\begin{split}~~~7~{\rm cm}\end{split}\)

p.143 練習問題 2　ひし形

p.147 問1相似比は、\(\begin{split}1:k\end{split}\)
半径 \(1\) の円の面積は、\(1{\, \small \times \,}1{\, \small \times \,}\pi=\pi\)
半径 \(k\) の円の面積は、\(k{\, \small \times \,}k{\, \small \times \,}\pi=\pi k^2\)
よって、面積比は、\(\begin{split}1:k^2\end{split}\)

p.147 説明しよう相似比 \(\begin{split}1:{ \frac{\,3\,}{\,2\,}}\end{split}\) の相似な２つの円の半径をそれぞれ \(r\) と \(\begin{split}{ \frac{\,3\,}{\,2\,}}r\end{split}\) とする
それぞれの面積は、
\(\begin{split}~~~r\times r\times \pi=\pi r^2$\end{split}\)
\(\begin{split}~~~\frac{\,3\,}{\,2\,}r\times \frac{\,3\,}{\,2\,}r\times \pi=\frac{\,9\,}{\,4\,}\pi r^2\end{split}\)
面積比は、
\(\begin{split}~~~\pi r^2:\frac{\,9\,}{\,4\,}\pi r^2=1:\frac{\,9\,}{\,4\,}=4:9\end{split}\)
よって、
\(\begin{split}~~~4:9=2^2:3^2\end{split}\)
となる

p.148 問2\(\begin{split}~~~500~{\rm cm}^2\end{split}\)

p.148 練習問題 1　\({\rm P}\) の面積 \(32~{\rm cm}^2\)
　\({\rm Q}\) の面積 \(40~{\rm cm}^2\)

p.148 練習問題 2　ＢはＡの \(3\) 倍、ＣはＡの \(5\) 倍

p.149 問1\({\small (1)}~\)相似な立体の対応する線分の長さの比は相似比となる
\({\small (2)}~\)相似な立体の対応する比が等しいので、
　\({\rm AB:A’B’=BC:B’C’=AC:A’C’}\)
よって、３組の辺の比が、それぞれ等しいので、
　\(\triangle {\rm ABC}\,\,\unicode{x223D}\,\,\triangle {\rm A’B’C’}\)

p.150 問2　表面積の比 \(m^2:n^2\)
　体積の比 \(m^3:n^3\)

p.151 問3　表面積 \(576~{\rm cm}^2\)
　体積 \(864~{\rm cm}^3\)

p.152 問4\(\begin{split}{\small (1)}~3:4\end{split}\)
\(\begin{split}{\small (2)}~9:16\end{split}\)
\(\begin{split}{\small (3)}~320\pi~{\rm cm}^3\end{split}\)

p.152 問5\(\begin{split}~~~8:19\end{split}\)

p.152 練習問題 1　\(27\) 倍

p.152 練習問題 2\(\begin{split}~~~\frac{\,140\,}{\,3\,}\pi~{\rm cm}^3\end{split}\)

p.154 問1\(\begin{split}~~~8:27\end{split}\)

p.154 問2　Ｂを \(2\) 個買う

p.154 話しあおう　\(711\) 円以下

p.155 問3\(\begin{split}{ \frac{\,1\,}{\,1000\,}}\end{split}\) の縮図をかくと、
　\({\rm A’C’}=3.5~{\rm cm}~,~{\rm B’C’}=4.2~{\rm cm}\)
　\(\angle {\rm A’C’B’}=78^\circ\) より、

これより、\({\rm A’B’}=4.9~{\rm cm}\)
したがって、\({\rm AB}\) の長さは、
　およそ \(49~{\rm m}\) となる

p.155 問4　およそ \(14~{\rm m}\)