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1章 式の展開と因数分解
2章 平方根
3章 二次方程式
4章 関数y=ax²
5章 図形と相似
6章 円の性質
7章 三平方の定理
8章 標本調査とデータの活用
5章 図形と相似
1節 図形と相似
1 相似な図形
p.122 問1アの図形は、ウの図形の \({\large \frac{\,1\,}{\,2\,}}\) の縮図
イの図形は、アの図形の \(2\) 倍の拡大図
イの図形は、アの図形の \(2\) 倍の拡大図
■ 同じタイプの例題解説
» 相似な図形と相似比
» 相似な図形と相似比
p.124 問2$$~~~\triangle {\rm ABC}\,\,\unicode{x223D}\,\,\triangle {\rm DEF}~,~\triangle {\rm ABC}\,\,\unicode{x223D}\,\,\triangle {\rm GIH}$$
■ 同じタイプの例題解説
» 相似な図形と相似比
» 相似な図形と相似比
p.124 問3$$~~~4:5$$
■ 同じタイプの例題解説
» 相似な図形と相似比
» 相似な図形と相似比
p.124 問4 合同
■ 同じタイプの例題解説
» 相似な図形と相似比
» 相似な図形と相似比
p.124 問5$$~~~{\rm CD}=3~~{\rm cm}~,~\angle {\rm H}=120^\circ$$
■ 同じタイプの例題解説
» 相似な図形と相似比
» 相似な図形と相似比
p.125 練習問題1.
\({\small (1)}~\)点 \({\rm E}\) と点 \({\rm A}\)、点 \({\rm F}\) と点 \({\rm B}\)、点 \({\rm G}\) と点 \({\rm C}\)、点 \({\rm H}\) と点 \({\rm D}\)$${\small (2)}~5:3$$$${\small (3)}~\angle{\rm G}=75^\circ$$$${\small (4)}~{\rm EF}=\frac{\,24\,}{\,5\,}=4.8~{\rm cm}$$
\({\small (1)}~\)点 \({\rm E}\) と点 \({\rm A}\)、点 \({\rm F}\) と点 \({\rm B}\)、点 \({\rm G}\) と点 \({\rm C}\)、点 \({\rm H}\) と点 \({\rm D}\)$${\small (2)}~5:3$$$${\small (3)}~\angle{\rm G}=75^\circ$$$${\small (4)}~{\rm EF}=\frac{\,24\,}{\,5\,}=4.8~{\rm cm}$$
2 三角形の相似条件
p.127 問1(イ)
① \(\angle{\rm B}\) をはかり、同じ角度になるように点 \({\rm E}\) を通る直線をひく。
② \({\rm AB}\) をコンパスではかり、点 \({\rm E}\) から2倍の長さの点 \({\rm D}\) をとる。
③ 3点 \({\rm D~,~E~,~F}\) をむすぶ。
(ウ)
① \(\angle{\rm B}\) をはかり、同じ角度になるように点 \({\rm E}\) を通る直線をひく。
② \(\angle{\rm C}\) をはかり、同じ角度になるように点 \({\rm F}\) を通る直線をひく。
③ この2直線の交点を \({\rm D}\) として、3点 \({\rm D~,~E~,~F}\) をむすぶ。
■ 同じタイプの例題解説
» 三角形の相似条件
» 三角形の相似条件
p.128 問3\({\small (1)}~\triangle {\rm ABC}\,\,\unicode{x223D}\,\,\triangle {\rm AED}\)
2組の角が、それぞれ等しい
\({\small (2)}~\triangle {\rm PQR}\,\,\unicode{x223D}\,\,\triangle {\rm RTS}\)
2組の辺の比とその間の角が、それぞれ等しい
2組の角が、それぞれ等しい
\({\small (2)}~\triangle {\rm PQR}\,\,\unicode{x223D}\,\,\triangle {\rm RTS}\)
2組の辺の比とその間の角が、それぞれ等しい
■ 同じタイプの例題解説
» 相似な三角形
» 相似な三角形
p.128 練習問題1.
\({\small (1)}~\)2組の辺の比とその間の角が、それぞれ等しい
\({\small (2)}~3:5\)
\({\small (3)}~{\rm DF}=15~{\rm cm}\)
\({\small (1)}~\)2組の辺の比とその間の角が、それぞれ等しい
\({\small (2)}~3:5\)
\({\small (3)}~{\rm DF}=15~{\rm cm}\)
3 三角形の相似条件と証明
p.131 問2[証明] \(\triangle {\rm OAD}\) と \(\triangle {\rm OCB}\) において、
仮定より、
\({\rm OA:OC}=3:6=1:2~~\cdots{\large ①}\)
\({\rm OD:OB}=4:8=1:2~~\cdots{\large ②}\)
対頂角が等しいから、
\(\angle{\rm AOD}=\angle{\rm COB}~~\cdots{\large ③}\)
①、②、③より、
2組の辺の比とその間の角が、それぞれ等しいので、
\(\triangle {\rm OAD}\,\,\unicode{x223D}\,\,\triangle {\rm OCB}\)
[終]
相似な図形の対応する角が等しいから、
\(\angle{\rm OAD}=\angle{\rm OCB}\)
錯角が等しいから
\({\rm AD\,//\,BC}\)
仮定より、
\({\rm OA:OC}=3:6=1:2~~\cdots{\large ①}\)
\({\rm OD:OB}=4:8=1:2~~\cdots{\large ②}\)
対頂角が等しいから、
\(\angle{\rm AOD}=\angle{\rm COB}~~\cdots{\large ③}\)
①、②、③より、
2組の辺の比とその間の角が、それぞれ等しいので、
\(\triangle {\rm OAD}\,\,\unicode{x223D}\,\,\triangle {\rm OCB}\)
[終]
相似な図形の対応する角が等しいから、
\(\angle{\rm OAD}=\angle{\rm OCB}\)
錯角が等しいから
\({\rm AD\,//\,BC}\)
■ 同じタイプの例題解説
» 相似の証明
» 相似の証明
p.131 話しあおう\(\triangle {\rm ABC}~,~\triangle {\rm ABH}~,~\triangle {\rm CAH}\)
2組の角が、それぞれ等しい
2組の角が、それぞれ等しい
p.131 練習問題1.
[証明] \(\triangle {\rm ABD}\) と \(\triangle {\rm DCB}\) において、
仮定より、
\({\rm AB:DC}=6:8=3:4~~\cdots{\large ①}\)
\({\rm BD:CD}=12:16=3:4~~\cdots{\large ②}\)
\({\rm AD:DB}=9:12=3:4~~\cdots{\large ③}\)
①、②、③より、
3組の辺の比が、それぞれ等しいから、
\(\triangle {\rm ABD}\,\,\unicode{x223D}\,\,\triangle {\rm DCB}\)
[終]
相似な図形の対応する角が等しいから、
\(\angle{\rm ADB}=\angle{\rm DBC}\)
錯角が等しいから
\({\rm AD\,//\,BC}\)
2.
[証明] \(\triangle {\rm ABC}\) と \(\triangle {\rm BDC}\) において、
仮定より、
\(\angle{\rm ABC}=\angle{\rm ACB}\)
\(\angle{\rm BDC}=\angle{\rm BCD}\)
よって、
\(\angle{\rm ABC}=\angle{\rm BDC}~~\cdots{\large ①}\)
共通の角より、
\(\angle{\rm ACB}=\angle{\rm BCD}~~\cdots{\large ②}\)
①、②より、
2組の角がそれぞれ等しいから、
\(\triangle {\rm ABC}\,\,\unicode{x223D}\,\,\triangle {\rm BDC}\)
[終]
$$~~~{\rm CD}=\frac{\,49\,}{\,10\,}=4.9~{\rm cm}$$
3.$$~~~{\rm CH}=4~{\rm cm}$$
[証明] \(\triangle {\rm ABD}\) と \(\triangle {\rm DCB}\) において、
仮定より、
\({\rm AB:DC}=6:8=3:4~~\cdots{\large ①}\)
\({\rm BD:CD}=12:16=3:4~~\cdots{\large ②}\)
\({\rm AD:DB}=9:12=3:4~~\cdots{\large ③}\)
①、②、③より、
3組の辺の比が、それぞれ等しいから、
\(\triangle {\rm ABD}\,\,\unicode{x223D}\,\,\triangle {\rm DCB}\)
[終]
相似な図形の対応する角が等しいから、
\(\angle{\rm ADB}=\angle{\rm DBC}\)
錯角が等しいから
\({\rm AD\,//\,BC}\)
2.
[証明] \(\triangle {\rm ABC}\) と \(\triangle {\rm BDC}\) において、
仮定より、
\(\angle{\rm ABC}=\angle{\rm ACB}\)
\(\angle{\rm BDC}=\angle{\rm BCD}\)
よって、
\(\angle{\rm ABC}=\angle{\rm BDC}~~\cdots{\large ①}\)
共通の角より、
\(\angle{\rm ACB}=\angle{\rm BCD}~~\cdots{\large ②}\)
①、②より、
2組の角がそれぞれ等しいから、
\(\triangle {\rm ABC}\,\,\unicode{x223D}\,\,\triangle {\rm BDC}\)
[終]
$$~~~{\rm CD}=\frac{\,49\,}{\,10\,}=4.9~{\rm cm}$$
3.$$~~~{\rm CH}=4~{\rm cm}$$
2節 平行線と線分の比
1 平行線と線分の比
p.133 問1$$~~~x=6~{\rm cm}~,~y=\frac{\,15\,}{\,2\,}=7.5~{\rm cm}$$
■ 同じタイプの例題解説
» 三角形と線分の比
» 三角形と線分の比
p.133 説明しよう\({\rm BC\,//\,P’Q’}\) のとき、
\(\triangle {\rm AP’Q’}\,\,\unicode{x223D}\,\,\triangle {\rm ABC}\) より、
\({\rm AP’:AB=AQ’:AC=P’Q’:BC}\)
\({\rm BC\,//\,P”Q”}\) のとき、
\(\triangle {\rm AP”Q”}\,\,\unicode{x223D}\,\,\triangle {\rm ABC}\) より、
\({\rm AP”:AB=AQ”:AC=P”Q”:BC}\)
\(\triangle {\rm AP’Q’}\,\,\unicode{x223D}\,\,\triangle {\rm ABC}\) より、
\({\rm AP’:AB=AQ’:AC=P’Q’:BC}\)
\({\rm BC\,//\,P”Q”}\) のとき、
\(\triangle {\rm AP”Q”}\,\,\unicode{x223D}\,\,\triangle {\rm ABC}\) より、
\({\rm AP”:AB=AQ”:AC=P”Q”:BC}\)
p.135 問2$$~~~x=3~{\rm cm}~,~{\rm BC}=\frac{\,21\,}{\,2\,}=10.5~{\rm cm}$$
■ 同じタイプの例題解説
» 三角形と線分の比
» 三角形と線分の比
p.135 問3$${\small (1)}~x=4~{\rm cm}~,~y=\frac{\,14\,}{\,5\,}=2.8~{\rm cm}$$$${\small (2)}~x=\frac{\,16\,}{\,5\,}=3.2~{\rm cm}~,~y=\frac{\,25\,}{\,2\,}=12.5~{\rm cm}$$$${\small (3)}~x=12~{\rm cm}~,~y=\frac{\,7\,}{\,3\,}~{\rm cm}$$
■ 同じタイプの例題解説
» 三角形と線分の比
» 三角形と線分の比
p.137 問4平行線にはさまれた線分の比より、
\(p\,//\,q\,//\,r\) より、
\(a:a’=b:b’\)
また、\(q\,//\,r\,//\,s\) より、
\(b:b’=c:c’\)
よって、
\(a:a’=b:b’=c:c’\)
となる
\(p\,//\,q\,//\,r\) より、
\(a:a’=b:b’\)
また、\(q\,//\,r\,//\,s\) より、
\(b:b’=c:c’\)
よって、
\(a:a’=b:b’=c:c’\)
となる
■ 同じタイプの例題解説
» 平行線と線分の比
» 平行線と線分の比
p.137 問5$$~~~x=16~{\rm cm}~,~y=30~{\rm cm}~,~z=20~{\rm cm}$$
■ 同じタイプの例題解説
» 平行線と線分の比
» 平行線と線分の比
p.138 問6$${\small (1)}~x=6~{\rm cm}$$$${\small (2)}~x=8~{\rm cm}$$
■ 同じタイプの例題解説
» 角の二等分線と比
» 角の二等分線と比
p.139 問7[証明] \(\triangle {\rm APQ}\) と \(\triangle {\rm ABC}\) において、
仮定より、
\({\rm AP:AB=AQ:AC}~~\cdots{\large ①}\)
共通の角より、
\(\angle{\rm PAQ}=\angle{\rm BAC}~~\cdots{\large ②}\)
①、②より、
2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいから、
\(\triangle {\rm APQ}\,\,\unicode{x223D}\,\,\triangle {\rm ABC}\)
相似な図形の対応する角が等しいから、
\(\angle{\rm APQ}=\angle{\rm ABC}\)
同位角が等しいから、
\({\rm PQ\,//\,BC}\)
したがって、
\({\rm AP:AB=AQ:AC}\) ならば \({\rm PQ\,//\,BC}\)
[終]
仮定より、
\({\rm AP:AB=AQ:AC}~~\cdots{\large ①}\)
共通の角より、
\(\angle{\rm PAQ}=\angle{\rm BAC}~~\cdots{\large ②}\)
①、②より、
2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいから、
\(\triangle {\rm APQ}\,\,\unicode{x223D}\,\,\triangle {\rm ABC}\)
相似な図形の対応する角が等しいから、
\(\angle{\rm APQ}=\angle{\rm ABC}\)
同位角が等しいから、
\({\rm PQ\,//\,BC}\)
したがって、
\({\rm AP:AB=AQ:AC}\) ならば \({\rm PQ\,//\,BC}\)
[終]
p.140 問8$$~~~{\rm FD\,//\,AC}$$$$~~~{\rm BF:FA=BD:DC}=2:3$$
■ 同じタイプの例題解説
» 三角形の線分の比と平行線
» 三角形の線分の比と平行線
p.140 問9\(\triangle {\rm OAB}\,\,\unicode{x223D}\,\,\triangle {\rm OA’B’}\) より、
\({\rm AB:A’B’}=1:3\)
また、\(\triangle {\rm OAC}\,\,\unicode{x223D}\,\,\triangle {\rm OA’C’}\) より、
\({\rm AC:A’C’}=1:3\)
また、\(\triangle {\rm OBC}\,\,\unicode{x223D}\,\,\triangle {\rm OB’BC’}\) より、
\({\rm BC:B’C’}=1:3\)
よって、3組の辺が、それぞれ等しいから、
\(\triangle {\rm ABC}\,\,\unicode{x223D}\,\,\triangle {\rm A’B’C’}\)
相似比は、\(1:3\)
\({\rm AB:A’B’}=1:3\)
また、\(\triangle {\rm OAC}\,\,\unicode{x223D}\,\,\triangle {\rm OA’C’}\) より、
\({\rm AC:A’C’}=1:3\)
また、\(\triangle {\rm OBC}\,\,\unicode{x223D}\,\,\triangle {\rm OB’BC’}\) より、
\({\rm BC:B’C’}=1:3\)
よって、3組の辺が、それぞれ等しいから、
\(\triangle {\rm ABC}\,\,\unicode{x223D}\,\,\triangle {\rm A’B’C’}\)
相似比は、\(1:3\)
■ 同じタイプの例題解説
» 相似の位置
» 相似の位置
p.141 問10
■ 同じタイプの例題解説
» 相似の位置
» 相似の位置
p.141 問11
■ 同じタイプの例題解説
» 相似の位置
» 相似の位置
p.141 練習問題1.$${\small (1)}~x=\frac{\,16\,}{\,3\,}~{\rm cm}~,~y=\frac{\,25\,}{\,2\,}=12.5~{\rm cm}$$$${\small (2)}~x=8~{\rm cm}~,~y=\frac{\,14\,}{\,3\,}~{\rm cm}$$
2 中点連結定理
p.142 問1$$~~~12~{\rm cm}~,~\triangle {\rm DEF}\,\,\unicode{x223D}\,\,\triangle {\rm CBA}$$
■ 同じタイプの例題解説
» 中点連結定理
» 中点連結定理
p.143 問2 ひし形
■ 同じタイプの例題解説
» 中点連結定理の利用
» 中点連結定理の利用
p.143 練習問題1.$$~~~7~{\rm cm}$$2.
ひし形
ひし形
3節 相似な図形の計量
1 相似な図形の面積
p.147 問1$$~~~1:k^2$$
p.147 説明しよう相似比 \(1:{\large \frac{\,3\,}{\,2\,}}\) の相似な2つの円の半径をそれぞれ \(r\) と \({\large \frac{\,3\,}{\,2\,}}r\) とする
それぞれの面積は、$$~~~r\times r\times \pi=\pi r^2$$$$~~~\frac{\,3\,}{\,2\,}r\times \frac{\,3\,}{\,\,}r\times \pi=\frac{\,9\,}{\,4\,}\pi r^2$$面積比は、$$~~~\pi r^2:\frac{\,9\,}{\,4\,}\pi r^2=1:\frac{\,9\,}{\,4\,}=4:9$$よって、$$~~~4:9=2^2:3^2$$となる
それぞれの面積は、$$~~~r\times r\times \pi=\pi r^2$$$$~~~\frac{\,3\,}{\,2\,}r\times \frac{\,3\,}{\,\,}r\times \pi=\frac{\,9\,}{\,4\,}\pi r^2$$面積比は、$$~~~\pi r^2:\frac{\,9\,}{\,4\,}\pi r^2=1:\frac{\,9\,}{\,4\,}=4:9$$よって、$$~~~4:9=2^2:3^2$$となる
■ 同じタイプの例題解説
» 相似な図形の面積比
» 相似な図形の面積比
p.148 問2$$~~~500~{\rm cm}^2$$
■ 同じタイプの例題解説
» 相似な図形の面積比
» 相似な図形の面積比
p.148 練習問題1.
\({\rm P}\) の面積 \(32~{\rm cm}^2\)
\({\rm Q}\) の面積 \(40~{\rm cm}^2\)
2.
BはAの \(3\) 倍、CはAの \(5\) 倍
\({\rm P}\) の面積 \(32~{\rm cm}^2\)
\({\rm Q}\) の面積 \(40~{\rm cm}^2\)
2.
BはAの \(3\) 倍、CはAの \(5\) 倍
2 相似な立体の表面積・体積
p.149 問1\({\small (1)}~\)相似な立体の対応する線分の長さの比は相似比となる
\({\small (2)}~\)相似な立体の対応する比が等しいので、
\({\rm AB:A’B’=BC:B’C’=AC:A’C’}\)
よって、3組の辺の比が、それぞれ等しいので、
\(\triangle {\rm ABC}\,\,\unicode{x223D}\,\,\triangle {\rm A’B’C’}\)
\({\small (2)}~\)相似な立体の対応する比が等しいので、
\({\rm AB:A’B’=BC:B’C’=AC:A’C’}\)
よって、3組の辺の比が、それぞれ等しいので、
\(\triangle {\rm ABC}\,\,\unicode{x223D}\,\,\triangle {\rm A’B’C’}\)
■ 同じタイプの例題解説
» 相似な立体の表面積比と体積比
» 相似な立体の表面積比と体積比
p.152 問4$${\small (1)}~3:4$$$${\small (2)}~9:16$$$${\small (3)}~320\pi~{\rm cm}^3$$
■ 同じタイプの例題解説
» 相似な立体の表面積比と体積比
» 相似な立体の表面積比と体積比
p.152 問5$$~~~8:19$$
■ 同じタイプの例題解説
» 相似な立体の表面積比と体積比
» 相似な立体の表面積比と体積比
p.152 練習問題1.
\(27\) 倍
2.$$~~~\frac{\,140\,}{\,3\,}\pi~{\rm cm}^3$$
\(27\) 倍
2.$$~~~\frac{\,140\,}{\,3\,}\pi~{\rm cm}^3$$
4節 相似の利用
1 相似の利用
p.154 問1$$~~~8:27$$
■ 同じタイプの例題解説
» 相似の利用
» 相似の利用
p.154 問2 Bを \(2\) 個買う
■ 同じタイプの例題解説
» 相似の利用
» 相似の利用
p.154 話しあおう \(711\) 円以下
p.155 問3\({\large \frac{\,1\,}{\,1000\,}}\) の縮図をかくと、
\({\rm A’C’}=3.5~{\rm cm}~,~{\rm B’C’}=4.2~{\rm cm}\)
\(\angle {\rm A’C’B’}=78^\circ\) より、
\({\rm A’C’}=3.5~{\rm cm}~,~{\rm B’C’}=4.2~{\rm cm}\)
\(\angle {\rm A’C’B’}=78^\circ\) より、
これより、\({\rm A’B’}=4.9~{\rm cm}\)
したがって、\({\rm AB}\) の長さは、
およそ \(49~{\rm m}\) となる
■ 同じタイプの例題解説
» 縮図の利用
» 縮図の利用
p.155 問4 およそ \(14~{\rm m}\)
■ 同じタイプの例題解説
» 縮図の利用
» 縮図の利用
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