数研出版：これからの数学２

p.142 問1\(\begin{split}{\small (1)}~\angle x=65^\circ~,~\angle y=50^\circ\end{split}\)
\(\begin{split}{\small (2)}~\angle x=100^\circ~,~\angle y=140^\circ\end{split}\)
\(\begin{split}{\small (3)}~\angle x=70^\circ~,~\angle y=110^\circ\end{split}\)

p.143 問2\({\small (1)}~\)[証明] \(\triangle {\rm ACD}\) と \(\triangle {\rm BCD}\) において、
仮定から、
　\({\rm AC=BC}~~~\cdots{\large ①}\)
　\({\rm AD=BD}~~~\cdots{\large ②}\)
共通の辺から、
　\({\rm CD=CD}~~~\cdots{\large ③}\)
①、②、③より、３組の辺がそれぞれ等しいから、
　\(\triangle {\rm ACD}\equiv\triangle {\rm BCD}\)
合同な図形では、対応する角の大きさが等しいから、
　\(\angle{\rm ACD}=\angle{\rm BCD}\)
[終]
\({\small (2)}~\)垂直に二等分する

p.145 問1[証明] \(\triangle {\rm ABC}\) は \(\angle{\rm B}=\angle{\rm C}\) の二等辺三角形であるから、
　\({\rm AB=AC}~~~\cdots{\large ①}\)
また、\(\triangle {\rm ABC}\) は \(\angle{\rm A}=\angle{\rm C}\) の二等辺三角形であるから、
　\({\rm BA=BC}~~~\cdots{\large ②}\)
①、②より、
　\({\rm AB=BC=AC}\)
３辺が等しい三角形であるから、\(\triangle {\rm ABC}\) は正三角形である [終]

p.147 問1[証明] \(\triangle {\rm ABC}\) と \(\triangle {\rm DEF}\) において、
仮定から、
　\({\rm AB=DE}~~~\cdots{\large ①}\)
　\(\angle{\rm B}=\angle{\rm E}~~~\cdots{\large ②}\)
\(\angle{\rm C}=\angle{\rm F}=90^\circ\) であり、三角形の内角の和が \(180^\circ\) より、
　\(\angle{\rm A}=90^\circ-\angle{\rm B}\)
　\(\angle{\rm D}=90^\circ-\angle{\rm E}\)
これと②より、
　\(\angle{\rm A}=\angle{\rm D}~~~\cdots{\large ③}\)
①、②、③より、１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいから
　\(\triangle {\rm ABC}\equiv\triangle {\rm DEF}\) [終]

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よって、合同条件[ 1 ]の
直角三角形の斜辺と１つの鋭角がそれぞれ等しい
が成り立つ

p.148 問2\({\small (1)}~\)\(\triangle {\rm ABC}\) は \({\rm AB=AE}\) の二等辺三角形であるから、底角が等しく \(\angle{\rm B}=\angle{\rm E}\) となる
\({\small (2)}~\)[証明] \(\triangle {\rm ABC}\) と \(\triangle {\rm DEF}\) において、
仮定から、
　\({\rm AB=DE}~~~\cdots{\large ①}\)
　\(\angle{\rm ACB}=\angle{\rm DFE}=90^\circ~~~\cdots{\large ②}\)
(1)より、
　\(\angle{\rm B}=\angle{\rm E}~~~\cdots{\large ③}\)
①、②、③より、直角三角形の斜辺と１つの鋭角がそれぞれ等しいから
　\(\triangle {\rm ABC}\equiv\triangle {\rm DEF}\)
[終]

p.148 問3\(\triangle {\rm ABC\equiv\triangle {\rm NOM}}\)
直角三角形の斜辺と他の１辺がそれぞれ等しい

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\(\triangle {\rm GHI\equiv\triangle {\rm JLK}}\)
直角三角形の斜辺と１つの鋭角がそれぞれ等しい

p.150 問1\({\small (1)}~\)２直線の錯角が等しい ならば、この２直線は平行
\({\small (2)}~\)\(ab\) が偶数 ならば、\(a\) は奇数、\(b\) は偶数

p.151 問2\({\small (1)}~\)\(\triangle {\rm ABC}\) で、
\(\angle{\rm B}+\angle{\rm C}=90^\circ\) ならば、\(\angle{\rm A}=90^\circ\)
正しい

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\({\small (2)}~\)２つの三角形の面積が等しい ならば、その２つの三角形は合同
正しくない

p.154 問1\(\begin{split}~~~{\rm AB=CD~,~AD=CB}\end{split}\)
\(\begin{split}~~~\angle{\rm ABC}=\angle{\rm CDA}\end{split}\)

p.152 問2[証明] \(\triangle {\rm AOB}\) と \(\triangle {\rm COD}\) において、
四角形 \({\rm ABCD}\) は平行四辺形であるから、
　\({\rm AB=CD}~~~\cdots{\large ①}\)
　\({\rm AB\,//\,CD}~~~\cdots{\large ②}\)
②より、平行線の錯角が等しいから、
　\(\angle{\rm OAB}=\angle{\rm OCD}~~~\cdots{\large ③}\)
　\(\angle{\rm OBA}=\angle{\rm ODC}~~~\cdots{\large ④}\)
①、③、④より、１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいから
　\(\triangle {\rm AOB}\equiv\triangle {\rm COD}\)
合同な図形では対応する辺の長さが等しいから、
　\({\rm OA=OC~,~OB=OD}\)
[終]

p.155 問3\(\begin{split}{\small (1)}~\angle d=60^\circ~,~x=5~{\rm cm}\end{split}\)
\(\begin{split}{\small (2)}~x=8~{\rm cm}~,~y=6~{\rm cm}\end{split}\)

p.156 問4[証明] \(\triangle {\rm AOE}\) と \(\triangle {\rm COF}\) において、
対頂角は等しいから、
　\(\angle{\rm AOE}=\angle{\rm COF}~~~\cdots{\large ①}\)
四角形 \({\rm ABCD}\) は平行四辺形より、平行線の錯角が等しいから、
　\(\angle{\rm OAE}=\angle{\rm OCF}~~~\cdots{\large ②}\)
平行四辺形の対角線はそれぞれの中点で交わるから、
　\({\rm OA=OC}~~~\cdots{\large ③}\)
①、②、③より、１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいから
　\(\triangle {\rm AOE}\equiv\triangle {\rm COF}\)
合同な図形では対応する辺の長さが等しいから、
　\({\rm OE=OF}\)
[終]

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※ \(\triangle {\rm OBE}\) と \(\triangle {\rm ODF}\) でも同様に証明できる。

p.157 問5[ 1 ]
\(\triangle {\rm ABC}\) と \(\triangle {\rm CDA}\) において、
仮定から、
　\({\rm AB=CD}~~~\cdots{\large ①}\)
　\({\rm BC=DA}~~~\cdots{\large ②}\)
共通の辺から、
　\({\rm AC=CA}~~~\cdots{\large ③}\)
①、②、③より、３組の辺がそれぞれ等しいから
　\(\triangle {\rm ABC}\equiv\triangle {\rm CDA}\)

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[ 2 ]
\(\triangle {\rm ABC}\equiv\triangle {\rm CDA}\) より、
合同な図形では対応する角の大きさは等しいから、
　\(\angle {\rm BAC}=\angle {\rm DCA}\)
　\(\angle {\rm ACB}=\angle {\rm CAD}\)

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[ 3 ]
錯角が等しいから、
　\({\rm AB\,//\,DC~,~AD\,//\,BC}\)

p.158 問6[証明] 四角形 \({\rm ABCD}\) の対角線の交点を \({\rm O}\) とする
\(\triangle {\rm OAB}\) と \(\triangle {\rm OCD}\) において、
仮定から、
　\({\rm OA=OC}~~~\cdots{\large ①}\)
　\({\rm OB=OD}~~~\cdots{\large ②}\)
対頂角は等しいから、
　\(\angle {\rm AOB}=\angle {\rm COD}~~~\cdots{\large ③}\)
①、②、③より、２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいから、
　\(\triangle {\rm AOB}\equiv\triangle {\rm COD}\)
合同な図形では対応する角の大きさは等しいから、
　\(\angle {\rm OAB}=\angle {\rm OCD}\)
錯角が等しいから、
　\({\rm AB\,//\,CD}~~~\cdots{\large ④}\)
また、\(\triangle {\rm AOD}\) と \(\triangle {\rm COD}\) でも同様にすると、
　\({\rm AD\,//\,BC}~~~\cdots{\large ⑤}\)
④、⑤より、四角形 \({\rm ABCD}\) は平行四辺形となる
したがって、
四角形の対角線がそれぞれの中点で交わる ならば、その四角形は平行四辺形である [終]

p.160 問7(ア) ２組の対角がそれぞれ等しい
(イ) ２組の対辺がそれぞれ等しい

p.160 問8[証明] \(\triangle {\rm APC}\) と \(\triangle {\rm BPD}\) において、
仮定から、
　\({\rm AP=BP}~~~\cdots{\large ①}\)
　\({\rm CP=DP}~~~\cdots{\large ②}\)
対頂角は等しいから、
　\(\angle {\rm APC}=\angle {\rm BPD}~~~\cdots{\large ③}\)
①、②、③より、２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいから、
　\(\triangle {\rm APC}\equiv\triangle {\rm BPD}\)
合同な図形では対応する角の大きさは等しいから、
　\(\angle {\rm PAC}=\angle {\rm PBD}\)
錯角が等しいから、
　\({\rm AC\,//\,BD}\)
[終]

p.160 問9[証明] 四角形 \({\rm ABCD}\) は平行四辺形であるから、
　\({\rm AD\,//\,BC}~~~\cdots{\large ①}\)
　\({\rm AD=BC}~~~\cdots{\large ②}\)
①より、
　\({\rm AF\,//\,EC}~~~\cdots{\large ③}\)
また、点 \({\rm E~,~F}\) はそれぞれ辺 \({\rm BC~,~DA}\) の中点であるから、$$~~~{\rm AF}=\frac{\,1\,}{\,2\,}{\rm AD}~,~{\rm EC}=\frac{\,1\,}{\,2\,}{\rm BC}$$これと②より、
　\({\rm AF=EC}~~~\cdots{\large ④}\)
③、④より、１組の対辺かわ平行でその長さが等しいから、
四角形 \({\rm AECF}\) は平行四辺形である [終]

p.164 問1[証明] \(\triangle {\rm ABO}\) と \(\triangle {\rm ADO}\) において、
ひし形 \({\rm ABCD}\) の４つの辺が等しいから、
　\({\rm AB=AD}~~~\cdots{\large ①}\)
また、ひし形は平行四辺形でもあるので、対角線はそれぞれの中点で交わるから、
　\({\rm BO=DO}~~~\cdots{\large ②}\)
共通の辺より、
　\({\rm AO=AO}~~~\cdots{\large ③}\)
①、②、③より、３組の辺がそれぞれ等しいから
　\(\triangle {\rm ABO}\equiv\triangle {\rm ADO}\)
合同な図形では対応する角の大きさは等しいから、
　\(\angle {\rm BAO}=\angle {\rm DAO}\)
ここで、\(\triangle {\rm ABD}\) は \({\rm AB=AD}\) の二等辺三角形であり、線分 \({\rm AO}\) は \(\angle{\rm A}\) の二等分線である
二等辺三角形の頂角の二等分線は、底辺を垂直二等分するから、
　\({\rm AO\perp BD}\)
したがって、
　\({\rm AC\perp BD}\)
[終]

p.164 問2逆は、
四角形の対角線の長さが等しい ならば、この四角形は長方形である

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いえない

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反例は、

p.166 問1[証明] \(\triangle {\rm ABC}\) と \(\triangle {\rm DBC}\) において、
\({\rm AD\,//\,BC}\) であるから、
　\(\triangle {\rm ABC}=\triangle {\rm DBC}~~~\cdots{\large ①}\)
また、
　\(\triangle {\rm ABO}=\triangle {\rm ABC}-\triangle {\rm OBC}\)
　\(\triangle {\rm DOC}=\triangle {\rm DBC}-\triangle {\rm OBC}\)
これと①より、
　\(\triangle {\rm ABO}=\triangle {\rm DCO}\)
[終]

p.166 問2[証明] \({\rm AC\,//\,DE}\) より、
　\(\triangle {\rm ACD}=\triangle {\rm ACE}\)
よって、
　四角形 \({\rm ABCD}=\triangle {\rm ABC}+\triangle {\rm ACD}\)
　\(\triangle {\rm ABE}=\triangle {\rm ABC}+\triangle {\rm ACE}\)
であるので、
四角形 \({\rm ABCD}\) と \(\triangle {\rm ABE}\) の面積は等しい [終]

p.166 問3図のように、３点を \({\rm A~,~B~,~C}\) とする

線分 \({\rm AB}\) を結び、この線分 \({\rm AB}\) に平行で点 \({\rm C}\) を通る直線を引く

この直線と長方形との交点を \({\rm D~,~E}\) としたとき、直線 \({\rm AE}\) (または \({\rm DB}\) ) が境界線となる