5章 相似
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数研出版中3 1章 式の計算
数研出版中3 2章 平方根
数研出版中3 3章 2次方程式
数研出版中3 4章 関数y=ax²
数研出版中3 5章 相似
数研出版中3 6章 円
数研出版中3 7章 三平方の定理
数研出版中3 8章 標本調査
5章 相似
1 相似な図形
1 相似な図形の性質
四角形 \({\rm EFGH}\) の \(\begin{split}{ \frac{\,1\,}{\,2\,}}\end{split}\) の縮図
四角形 \({\rm EFGH}\) は、
四角形 \({\rm ABCD}\) の \(2\) 倍の拡大図
四角形 \({\rm ABCD}\) は、
四角形 \({\rm IJKL}\) の \(\begin{split}{ \frac{\,1\,}{\,3\,}}\end{split}\) の縮図
四角形 \({\rm IJKL}\) は、
四角形 \({\rm ABCD}\) の \(3\) 倍の拡大図
四角形 \({\rm EFGH}\) は、
四角形 \({\rm IJKL}\) の \(\begin{split}{ \frac{\,3\,}{\,2\,}}\end{split}\) の縮図
四角形 \({\rm IJKL}\) は、
四角形 \({\rm EFGH}\) の \(\begin{split}{ \frac{\,2\,}{\,3\,}}\end{split}\) 倍の拡大図
» 相似な図形と相似比
» 相似な図形と相似比
» 相似な図形と相似比
» 相似な図形と相似比
» 相似な図形と相似比
» 相似な図形と相似比
\(\begin{split}{\small (3)}~75^\circ\end{split}\)
» 相似な図形と相似比
» 相似の位置
2 三角形の相似条件
② \(\angle{\rm B’}=\angle{\rm B}\) となるように半直線をかく。
③ この半直線上に、\({\rm A’B’}=2c\) となるような点 \({\rm A’}\) をとる。
④ \({\rm A’}\) と \({\rm C’}\) をむすんで、\(\triangle {\rm A’B’C’}\) をかく。
3組の辺の比がそれぞれ等しい
\(\triangle {\rm DEF}\,\,\unicode{x223D}\,\,\triangle {\rm UST}\)
2組の角がそれぞれ等しい
\(\triangle {\rm GHI}\,\,\unicode{x223D}\,\,\triangle {\rm KLJ}\)
2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい
» 三角形の相似条件
2組の角がそれぞれ等しい
\({\small (2)}~\)\(\triangle {\rm PQO}\,\,\unicode{x223D}\,\,\triangle {\rm RSO}\)
2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい
\({\small (3)}~\)\(\triangle {\rm ABC}\,\,\unicode{x223D}\,\,\triangle {\rm AED}\)
2組の角がそれぞれ等しい
» 相似な三角形
仮定から、
\(\angle{\rm ADB}=\angle{\rm CDA}~~~\cdots{\large ①}\)
また、
\(\angle{\rm ABD}=90^\circ-\angle{\rm DAB}\)
\(\angle{\rm CAD}=90^\circ-\angle{\rm DAB}\)
これより、
\(\angle{\rm ABD}=\angle{\rm CAD}~~~\cdots{\large ②}\)
①、②より、2組の角がそれぞれ等しいから
\(\triangle {\rm DBA}\,\,\unicode{x223D}\,\,\triangle {\rm DAC}\)
[終]
» 相似の証明
仮定より、
\(\angle{\rm FDB}=\angle{\rm FEA}~~~\cdots{\large ①}\)
対頂角が等しいから
\(\angle{\rm BFD}=\angle{\rm AFE}~~~\cdots{\large ②}\)
①、②より、2組の角がそれぞれ等しいから
\(\triangle {\rm BDF}\,\,\unicode{x223D}\,\,\triangle {\rm AEF}\)
[終]
» 相似の証明
3 相似な図形の面積の比
» 相似な図形の面積比
» 相似な図形の面積比
» 相似な図形の面積比
» 相似な図形の面積比
» 相似な図形の面積比
» 相似な図形の面積比
4 相似な立体とその性質
» 相似な立体の表面積比と体積比
\(\begin{split}~~{\rm ~V:V’}=27:64\end{split}\)
» 相似な立体の表面積比と体積比
» 相似な立体の表面積比と体積比
2 平行線と線分の比
1 三角形の比
\({\rm DE\,//\,BC}\) より、同位角が等しいから
\(\angle{\rm AED}=\angle{\rm ECF}~~~\cdots{\large ①}\)
\({\rm AB\,//\,EF}\) より、同位角が等しいから
\(\angle{\rm ABC}=\angle{\rm EFC}\)
また、\({\rm }\) より、同位角が等しいから
\(\angle{\rm ABC}=\angle{\rm ADE}\)
よって、
\(\angle{\rm ADE}=\angle{\rm EFC}~~~\cdots{\large ②}\)
①、②より、2組の角がそれぞれ等しいから
\(\triangle {\rm ADE}\,\,\unicode{x223D}\,\,\triangle {\rm EFC}\)
[終]
\({\small (2)}~\)[証明] \({\rm DB\,//\,EF~,~DE\,//\,BF}\) より、
2組の対辺がそれぞれ平行であるので、
四角形 \({\rm DBFE}\) は平行四辺形である
平行四辺形の対辺は等しいから、
\({\rm DB=EF}\)
[終]
\({\small (3)}~\)[証明] \(\triangle {\rm ADE}\,\,\unicode{x223D}\,\,\triangle {\rm EFC}\) より、
相似な図形の対応する辺の比が等しいから、
\({\rm AD:EF=AE:EC}\)
また、\({\rm DB=EF}\) であるので、
\({\rm AD:DB=AE:EC}\)
» 三角形と線分の比
\(\begin{split}{\small (2)}~x=\frac{\,28\,}{\,5\,}~{\rm cm}~,~y=9~{\rm cm}\end{split}\)
» 三角形と線分の比
\(\begin{split}{\small (2)}~{\rm DE\,//\,BC}\end{split}\)
» 三角形の線分の比と平行線
\({\rm AB\,//\,CF}\) より、錯角が等しいから
\(\angle{\rm ADE}=\angle{\rm CFE}~~~\cdots{\large ①}\)
対頂角が等しいから
\(\angle{\rm AED}=\angle{\rm CEF}~~~\cdots{\large ②}\)
①、②より、2組の角がそれぞれ等しいから
\(\triangle {\rm ADE}\,\,\unicode{x223D}\,\,\triangle {\rm CFE}\)
[終]
\({\small (2)}~\)[証明] \(\triangle {\rm ADE}\,\,\unicode{x223D}\,\,\triangle {\rm CFE}\) より、
対応する辺の比が等しいから、
\({\rm AD:CF=AE:CE}\)
また、仮定より、
\({\rm AD:DB=AE:EC}\)
したがって、
\({\rm BD=CF}\)
[終]
\({\small (3)}~\)[証明] 四角形 \({\rm DBCF}\) において、
\({\rm BD=CF~,~BD\,//\,CF}\)
1組の対辺が平行でその長さが等しいから、
四角形 \({\rm DBCF}\) は平行四辺形である
よって、\({\rm DF\,//\,BC}\) より、
\({\rm DE\,//\,BC}\)
[終]
» 三角形の線分の比と平行線
理由は \({\rm CF:FA=CE:EB}=3:5\)
» 三角形の線分の比と平行線
2 中点連結定理
\({\rm AM:MB=AN:NC}\)
\(\begin{split}{\rm MN={ \frac{\,1\,}{\,2\,}}BC}\end{split}\) の根拠は、
\({\rm AM:AB=1:2}\)
» 中点連結定理
» 中点連結定理
\({\small (2)}~\)[証明] \(\triangle {\rm ABC}\) と \(\triangle {\rm DEF}\) において、
仮定より、
\({\rm AB:DE}=2:1~~\cdots{\large ①}\)
\({\rm BC:EF}=2:1~~\cdots{\large ②}\)
\({\rm AC:DF}=2:1~~\cdots{\large ③}\)
①、②、③より、
3組の辺の比がそれぞれ等しいから
\(\triangle {\rm ABC}\,\,\unicode{x223D}\,\,\triangle {\rm DEF}\)
[終]
» 中点連結定理
四角形 \({\rm EFGH}\) はひし形
四角形 \({\rm ABCD}\) がひし形のとき、
四角形 \({\rm EFGH}\) は長方形
» 中点連結定理の利用
\(\triangle {\rm ACF}\) において、\({\rm BG\,//\,CF}\) より、
\({\rm AB:BC=AG:GF}~~\cdots{\large ①}\)
また、\(\triangle {\rm FDA}\) において、\({\rm EG\,//\,DA}\) より、
\({\rm FE:ED=FG:GA}\)
これより、
\({\rm DE:EF=AG:GF}~~\cdots{\large ②}\)
①と②より、
\({\rm AB:BC=DE:EF}\)
[終]
» 平行線と線分の比
» 平行線と線分の比
この直線と線分ABとの延長線との交点をEとする
\({\rm AD \,//\, EC}\) より、平行線の錯角は等しいから、
\(\begin{split}~~~\angle{\rm DAC}=\angle{\rm ACE}~~~\cdots{\large ①}\end{split}\)
\({\rm AD \,//\, EC}\) より、平行線の同位角は等しいから、
\(\begin{split}~~~\angle{\rm BAD}=\angle{\rm AEC}~~~\cdots{\large ②}\end{split}\)
\(\angle{\rm BAD}=\angle{\rm DAC}\) と①、②より、
\(\begin{split}~~~\angle{\rm ACE}=\angle{\rm AEC}\end{split}\)
よって、\(\triangle {\rm ACE}\) は二等辺三角形となるので、
\(\begin{split}~~~{\rm AC=AE}\cdots{\large ③}\end{split}\)
次に、\(\triangle {\rm BEC}\) において、\({\rm AD \,//\, EC}\) より
\(\begin{split}~~~{\rm BA:AE=BD:DC}\end{split}\)
③より、
\(\begin{split}~~~{\rm AB:AC=BD:DC}\end{split}\)
[終]
【別解】
辺ACと平行で点Bを通る直線を引く
この直線と二等分線ADの延長線との交点をFとする
\({\rm AC \,//\, BF}\) より、平行線の錯角は等しいから、
\(\begin{split}~~~\angle{\rm DAC}=\angle{\rm BFD}~~~\cdots{\large ①}\end{split}\)
\(\angle{\rm BAD}=\angle{\rm DAC}\) と①より、
\(\begin{split}~~~\angle{\rm BAD}=\angle{\rm BFD}\end{split}\)
よって、\(\triangle {\rm ABF}\) は二等辺三角形となるので、
\(\begin{split}~~~{\rm AB=BF}\cdots{\large ②}\end{split}\)
次に、\(\triangle {\rm BFD}\) と \(\triangle {\rm CAD}\) において、対頂角が等しいから、
\(\begin{split}~~~\angle{\rm BDF}=\angle{\rm CDA}~~~\cdots{\large ③}\end{split}\)
①と③より、2組の角がそれぞれ等しいから、
\(\begin{split}~~~\triangle {\rm BFD}∽\triangle {\rm CAD}\end{split}\)
相似な図形の対応する辺の比は等しいから、
\(\begin{split}~~~{\rm BF:CA=BD:CD}\end{split}\)
②より、
\(\begin{split}~~~{\rm AB:AC=BD:DC}\end{split}\)
[終]
» 角の二等分線と比
それぞれの面積は、
\(\begin{eqnarray}~~~\triangle {\rm ABD}&=&\frac{\,1\,}{\,2\,}h\cdot{\rm BD}\\[3pt]~~~\triangle {\rm ADC}&=&\frac{\,1\,}{\,2\,}h\cdot{\rm DC}\end{eqnarray}\)
また、点 \({\rm D}\) から辺 \({\rm AB~,~AC}\) にひいた垂線との交点を \({\rm E~,~F}\) とすると、
\(\triangle {\rm AED}\equiv\triangle {\rm AFD}\) となるので、
\(\begin{split}~~~{\rm DE=DF}=s\end{split}\)
よって、辺 \({\rm AB~,~AC}\) を底辺としたときの \(\triangle {\rm ABD}\) と \(\triangle {\rm ADC}\) の面積は、
\(\begin{eqnarray}~~~\triangle {\rm ABD}&=&\frac{\,1\,}{\,2\,}s\cdot{\rm AB}\\[3pt]~~~\triangle {\rm ADC}&=&\frac{\,1\,}{\,2\,}s\cdot{\rm AC}\end{eqnarray}\)
\(\triangle {\rm ABD}\) と \(\triangle {\rm ADC}\) の比を考えると、
\(\begin{split}&\triangle {\rm ABD}:\triangle {\rm ADC}\\[3pt]~~=~&\frac{\,1\,}{\,2\,}h\cdot{\rm BD}:\frac{\,1\,}{\,2\,}h\cdot{\rm DC}\\[3pt]~~=~&{\rm BD}:{\rm DC}\end{split}\)
また、
\(\begin{split}&\triangle {\rm ABD}:\triangle {\rm ADC}\\[3pt]~~=~&\frac{\,1\,}{\,2\,}s\cdot{\rm AB}:\frac{\,1\,}{\,2\,}s\cdot{\rm AC}\\[3pt]~~=~&{\rm AB}:{\rm AC}\end{split}\)
したがって、
\(\begin{split}~~~{\rm AB:AC=BD:DC}\end{split}\)
[終]
» 角の二等分線と比
» 角の二等分線と比
3 相似の利用
1 縮図の利用
» 縮図の利用
» 縮図の利用
» 縮図の利用
» 縮図の利用
2 相似の利用
» 相似の利用
» 相似の利用
三角形の重心と内心
\(\begin{split}~~~{\rm FD\,//\,AC}~,~{\rm FD}=\frac{\,1\,}{\,2\,}{\rm AC}\end{split}\)
\(\triangle {\rm G’AC}\) と \(\triangle {\rm G’DF}\) において、
\({\rm FD\,//\,AC}\) より、錯角が等しいから、
\(\angle{\rm G’AC}=\angle{\rm G’DF}~~~\cdots{\large ①}\)
対頂角が等しいから、
\(\angle{\rm AG’C}=\angle{\rm DG’F}~~~\cdots{\large ②}\)
①、②より、2組の角がそれぞれ等しいので、
\(\triangle {\rm G’AC}\,\,\unicode{x223D}\,\,\triangle {\rm G’DF}\)
相似な図形は、対応する辺の比がそれぞれ等しいから、
\({\rm G’A:G’D=AC:DF}\)
\(\begin{split}{\rm FD={ \frac{\,1\,}{\,2\,}}AC}\end{split}\) より、\({\rm AC:DF}=2:1\) であるので、
\({\rm AG’:G’D=2:1}\)
[終]
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