東京書籍：新しい数学２

p.129 問1角の二等分線で分けられた２つの角は等しい

p.130 問2$${\small (1)}~\angle x=45^\circ$$$${\small (2)}~\angle x=50^\circ$$$${\small (3)}~\angle x=110^\circ$$$${\small (4)}~\angle x=27^\circ$$

p.130 問3いってよい
鈍角三角形は１つの角が鈍角で、残り２つの角は鋭角である
よって、底角２つが鈍角となることはない

p.131 問4$$~~~\angle{\rm ADC}~,~\angle{\rm ADC}~,~90^\circ$$

p.132 問5\({\small (1)}~\)[証明]
\(\triangle {\rm ACD}\) と \(\triangle {\rm BCD}\) において、
仮定より、$$~~~{\rm CA=CB}~~~\cdots{\large ①}$$$$~~~{\rm DA=DB}~~~\cdots{\large ②}$$また、\({\rm CD}\) は共通 \(~~~\cdots{\large ③}\)
①、②、③より、３組の辺がそれぞれ等しいから$$~~~\triangle {\rm ACD}\equiv\triangle {\rm BCD}$$合同な図形の対応する角は等しいから$$~~~\angle {\rm ACD}=\angle {\rm BCD}$$[終]
 
\({\small (2)}~\)[証明] \(\triangle {\rm CAB}\) は二等辺三角形で (1) の結果より、$$~~~\angle{\rm ACD}=\angle{\rm BCD}$$これより、ＣＤは頂角の二等分線となる
二等辺三角形の頂角の二等分線は底辺を垂直に二等分するので、ＣＤは線分ＡＢの垂直二等分線である [終]

p.132 問6$$~~~\angle {\rm C}~,~\angle {\rm C}$$

p.134 問1[証明] \(\triangle {\rm ABC}\) 二等辺三角形より、底角が等しいから$$~~~\angle{\rm B}=\angle{\rm C}~~~\cdots{\large ①}$$ＢＰは角の二等分線より、$$~~~\angle{\rm PBC}=\angle{\rm B}\times\frac{\,1\,}{\,2\,}$$また、ＣＰは角の二等分線より、$$~~~\angle{\rm PCB}=\angle{\rm C}\times\frac{\,1\,}{\,2\,}$$よって、①より、$$~~~\angle{\rm B}\times\frac{\,1\,}{\,2\,}=\angle{\rm C}\times\frac{\,1\,}{\,2\,}$$したがって、$$~~~\angle{\rm PBC}=\angle{\rm PCB}$$三角形の２つの角が等しいから、\(\triangle {\rm PBC}\) は二等辺三角形となる [終]

p.134 問2[証明] \(\triangle {\rm ABC}\) において、
仮定より、$$~~~\angle{\rm A}=\angle{\rm B}=\angle{\rm C}$$\(\angle{\rm B}=\angle{\rm C}\) より、\(\triangle {\rm ABC}\) は \(\angle{\rm A}\) を頂角とする二等辺三角形となるから$$~~~{\rm AB=AC}~~~\cdots{\large ①}$$また、\(\angle{\rm A}=\angle{\rm C}\) より、\(\triangle {\rm ABC}\) は \(\angle{\rm B}\) を頂角とする二等辺三角形となるから$$~~~{\rm BA=BC}~~~\cdots{\large ②}$$①と②より、$$~~~{\rm AB=BC=AC}$$３辺が等しいので正三角形となる
したがって、３つの角が等しい三角形は正三角形である [終]

p.135 問3\({\small (1)}~\)右の図で、\(\angle a=\angle b\) ならば \(l \,//\, m\)
正しい
\({\small (2)}~\)２つの三角形の面積が等しいならばこの２つの三角形は合同である
正しくない
\({\small (3)}~x> 3\) ならば \(x≧5\)
正しくない

p.136 問1\({\rm AB=AE}\) より、\(\triangle {\rm ABE}\) は二等辺三角形となる
よって、底角が等しいから$$~~~\angle{\rm B}=\angle{\rm E}$$
[証明] \(\triangle {\rm ABC}\) と \(\triangle {\rm DEF}\) において、
仮定より、$$~~~{\rm AB=DE}~~~\cdots{\large ①}$$$$~~~{\rm AC=DF}~~~\cdots{\large ②}$$\(\triangle {\rm ABE}\) が二等辺三角形で底角が等しいから$$~~~\angle{\rm B}=\angle{\rm E}$$また、\(\angle{\rm C}=\angle{\rm F}=90^\circ\) より、$$~~~\angle{\rm A}=\angle{\rm D}~~~\cdots{\large ③}$$①、②、③より、２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいから、$$~~~\triangle {\rm ABC}=\triangle {\rm DEF}$$[終]

p.137 問2\(~~~\triangle {\rm ABC}\equiv\triangle {\rm LKJ}\)
直角三角形で、斜辺と他の１辺がそれぞれ等しい
 
\(~~~\triangle {\rm DFE}\equiv\triangle {\rm GIH}\)
直角三角形で、斜辺と１つの鋭角がそれぞれ等しい

p.138 問3\({\small (1)}~\)[証明] \(\triangle {\rm IBE}\) と \(\triangle {\rm IBD}\) において、
仮定より、$$~~~\angle{\rm IEB}=\angle{\rm IDB}=90^\circ~~~\cdots{\large ①}$$$$~~~\angle{\rm IBE}=\angle{\rm IBD}~~~\cdots{\large ②}$$また、\({\rm IB}\) は共通 \(~~~\cdots{\large ③}\)
①、②、③より、直角三角形で、斜辺と１つの鋭角がそれぞれ等しいから$$~~~\triangle {\rm IBE}\equiv\triangle {\rm IBD}$$合同な図形の対応する辺は等しいから$$~~~{\rm IE=ID}~~~\cdots{\large ④}$$次に、 \(\triangle {\rm ICE}\) と \(\triangle {\rm ICF}\) においても同様にして、$$~~~{\rm IE=IF}~~~\cdots{\large ⑤}$$したがって、④と⑤より、$$~~~{\rm ID=IE=IF}$$[終]
 
\({\small (2)}~\)[証明] \(\triangle {\rm AID}\) と \(\triangle {\rm AIF}\) において、
仮定より、$$~~~\angle{\rm ADI}=\angle{\rm AFI}=90^\circ~~~\cdots{\large ①}$$(1) より、$$~~~{\rm ID=IF}~~~\cdots{\large ②}$$また、\({\rm AI}\) は共通 \(~~~\cdots{\large ③}\)
①、②、③より、直角三角形で、斜辺と他の１辺がそれぞれ等しいから$$~~~\triangle {\rm AID}\equiv\triangle {\rm AIF}$$合同な図形の対応する角は等しいから$$~~~\angle{\rm DAI}=\angle{\rm FAI}$$したがって、\(\angle{\rm BAI}=\angle{\rm CAI}\) となり、半直線ＡＩは \(\angle{\rm BAC}\) を二等分する [終]
 
\({\small (3)}~\)

p.140 問1［１］\({\rm AB=DC~,~AD=BC}\)
［２］\(\angle{\rm A}=\angle{\rm C}~,~\angle{\rm B}=\angle{\rm D}\)

p.141 問2[証明] 対角線 \({\rm AC}\) を引く
平行線の錯角は等しいから
\(~~~{\rm AB \,//\, DC}\) より、\(\angle{\rm BAC}=\angle{\rm DCA}\)
\(~~~{\rm AD \,//\, BC}\) より、\(\angle{\rm DAC}=\angle{\rm BCA}\)
よって、$$~~~\angle{\rm BAC}+\angle{\rm DAC}=\angle{\rm DCA}+\angle{\rm BCA}$$これより、$$~~~\angle{\rm A}=\angle{\rm C}~~~\cdots{\large ①}$$また、対角線 \({\rm BD}\) を引き、同様にすると、$$~~~\angle{\rm B}=\angle{\rm D}~~~\cdots{\large ②}$$①、②より、平行四辺形では２組の対角はそれぞれ等しい [終]

p.141 問3[証明] \(\triangle {\rm ABO}\) と \(\triangle {\rm CDO}\) において、
平行四辺形では、２組の対辺はそれぞれ等しいから$$~~~{\rm AB=CD}~~~\cdots{\large ①}$$また、平行線の錯角が等しいから、\({\rm AB \,//\, DC}\) より、$$~~~\angle{\rm BAO}=\angle{\rm DCO}~~~\cdots{\large ②}$$$$~~~\angle{\rm ABO}=\angle{\rm CDO}~~~\cdots{\large ③}$$①、②、③より、１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいから$$~~~\triangle {\rm ABO}\equiv\triangle {\rm CDO}$$合同な図形の対応する辺は等しいから、$$~~~{\rm AO=CO~,~BO=DO}$$したがって、平行四辺形では、対角線はそれぞれの中点で交わる [終]

p.142 問4\({\small (1)}~\)

\({\small (2)}~\)[証明] \(\triangle {\rm ABE}\) と \(\triangle {\rm CDF}\) において、
仮定より、$$~~~{\rm BE=DF}~~~\cdots{\large ①}$$平行四辺形の２組の対辺はそれぞれ等しいから、$$~~~{\rm AB=CD}~~~\cdots{\large ②}$$\({\rm AB \,//\, CD}\) より、平行線の錯角が等しいから、$$~~~\angle{\rm ABE}=\angle{\rm CDF}~~~\cdots{\large ③}$$①、②、③より、２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいから、$$~~~\triangle {\rm ABE}\equiv\triangle {\rm CDF}$$合同な図形の対応する辺は等しいから、$$~~~{\rm AE=CF}$$[終]

p.145 問1[証明] \(\triangle {\rm AOB}\) と \(\triangle {\rm COD}\) において、
仮定より、$$~~~{\rm AO=CO}~~~\cdots{\large ①}$$$$~~~{\rm BO=DO}~~~\cdots{\large ②}$$対頂角は等しいから$$~~~\angle{\rm AOB}=\angle{\rm COD}~~~\cdots{\large ③}$$①、②、③より、２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいから、$$~~~\triangle {\rm AOB}\equiv\triangle {\rm COD}$$合同な図形の対応する角は等しいから、$$~~~\angle{\rm ABO}=\angle{\rm CDO}$$錯角が等しいから、$$~~~{\rm AB \,//\, DC}~~~\cdots{\large ④}$$\(\triangle {\rm AOD}\) と \(\triangle {\rm COB}\) においても同様にすると、$$~~~{\rm AD \,//\, BC}~~~\cdots{\large ⑤}$$④、⑤より、この四角形は平行四辺形である
したがって、対角線がそれぞれの中点で交わる四角形は、平行四辺形である [終]

p.146 問2\(~~~\)ウ

p.147 問3対角線ＡＣを引き、対角線の交点をＯとする
平行四辺形の対角線はそれぞれの中点で交わるから$$~~~{\rm AO=CO}~~~\cdots{\large ①}$$$$~~~{\rm BO=DO}~~~\cdots{\large ②}$$また、仮定より、$$~~~{\rm BE=DF}~~~\cdots{\large ③}$$よって、②と③より、$$~~~{\rm BO+BE=DO+DF}$$$$~~~~~~~~~{\rm EO=FO}\cdots{\large ④}$$①、④より、対角線がそれぞれの中点で交わるから、四角形ＡＥＣＦは平行四辺形である [終]

p.147 問4[証明] \(\triangle {\rm ABE}\) と \(\triangle {\rm CDF}\) において、
仮定より、$$~~~{\rm BE=DF}~~~\cdots{\large ①}$$平行四辺形の２組の対辺がそれぞれ等しいから、$$~~~{\rm AB=CD}~~~\cdots{\large ②}$$$$~~~{\rm BC=DA}~~~\cdots{\large ③}$$また、平行四辺形の２組の対角は等しいから、$$~~~\angle{\rm ABE}=\angle{\rm CDF}~~~\cdots{\large ④}$$①、②、④より、２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいから、$$~~~\triangle {\rm ABE}\equiv\triangle {\rm CDF}$$合同な図形の対応する辺は等しいから、$$~~~{\rm AE=CF}~~~\cdots{\large ⑤}$$また、①と③より、$$~~~{\rm BC-BE=DA-DE}$$$$~~~~~~~{\rm EC=FA}~~~\cdots{\large ⑥}$$⑤と⑥より、２組の対辺がそれぞれ等しいから、四角形ＡＥＣＦは平行四辺形となる [終]

p.149 問1[証明] ひし形の定義より、４つの辺がすべて等しいから、２組の対辺がそれぞれ等しい
よって、ひし形は平行四辺形である [終]
 
[証明] 正方形の定義より、４つの角がすべて等しいから２つの対角がそれぞれ等しい
よって、正方形は平行四辺形である [終]
（４つの辺がすべて等しいを用いてもよい）

p.149 問2[証明] \(\triangle {\rm ABC}\) と \(\triangle {\rm DCB}\) において、
長方形の４つの角がすべて等しいから$$~~~\angle{\rm ABC}=\angle{\rm DCB}~~~\cdots{\large ①}$$平行四辺形の２組の対辺はそれぞれ等しいから、$$~~~{\rm AB=DC}~~~\cdots{\large ②}$$共通な辺より、$$~~~{\rm BC=CB}~~~\cdots{\large ③}$$①、②、③より、２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいから、$$~~~\triangle {\rm ABC}\equiv\triangle {\rm DCB}$$合同な図形の対応する辺は等しいから、$$~~~{\rm AC=DB}$$したがって、長方形の対角線は等しい [終]

p.149 問3[証明] \(\triangle {\rm ABC}\) と \(\triangle {\rm ABC}\) において、
ひし形の４つの辺がすべて等しいから、$$~~~{\rm AB=AD}~~~\cdots{\large ①}$$平行四辺形の対角線がそれぞれの中点で交わるから、$$~~~{\rm BO=DO}~~~\cdots{\large ②}$$共通な辺より、$$~~~{\rm AO=AO}\cdots{\large ③}$$①、②、③より、３組の辺がそれぞれ等しいから、$$~~~\triangle {\rm ABO}\equiv\triangle {\rm ADO}$$合同な図形の対応する角は等しいから、$$~~~\angle{\rm BAO}=\angle{\rm DAO}~~~\cdots{\large ④}$$①より、\(\triangle {\rm ABD}\) は二等辺三角形であり、
④より、ＡＯは頂角の二等分線であるから、$$~~~\angle{\rm AOB}=\angle{\rm AOD}=90^\circ$$したがって、ひし形の対角線は垂直に交わる [終]

p.151 問4[証明] 仮定より、斜辺ＡＣの中点がＭより、$$~~~{\rm MA=MC}~~~\cdots{\large ①}$$また、長方形の対角線は等しいから、$$~~~{\rm AC=BD}~~~\cdots{\large ②}$$平行四辺形の対角線はそれぞれの中点で交わるから、$$~~~{\rm MB=MD}~~~\cdots{\large ③}$$②より、$$~~~{\rm MA+MC=MB+MD}$$①、③より、$$~~~{\rm 2MA=2MB}$$$$~~~~{\rm MA=MB}~~~\cdots{\large ④}$$したがって、①と④より、$$~~~{\rm MA=MB=MC}$$[終]

p.150 問5\({\small (1)}~\)正しくない
反例

対角線が等しい四角形でも、平行四辺形でなければ長方形ではない
\({\small (2)}~\)正しくない
反例

対角線が垂直に交わる四角形でも、平行四辺形でなければひし形ではない

p.150 問6\({\small (1)}~\)ア
\({\small (2)}~\)エ
\({\small (3)}~\)イ
\({\small (4)}~\)ウ

p.153 問1$$~~~\triangle {\rm ABM}=\triangle {\rm BDM}=\triangle {\rm MDC}$$$$~~~\triangle {\rm ABC}=\triangle {\rm BDC}=\triangle {\rm ABD}$$$$~~~~~~~~~~~~~~=\triangle {\rm ACD}=\triangle {\rm AMD}$$

p.154 問2２点Ａ、Ｃを結ぶ
直線ＡＣに平行で点Ｂを通る直線ＤＥを引く
直線ＡＥを引くと、この直線が境界線となる
（\(\triangle {\rm ABC}=\triangle {\rm AEC}\)となるから）